Введение

Краевая задача , называемая здесь задачей Римана, впервые встречается в работе Римана о дифференциальных уравнениях с алгебраическими коэффициентами. Задача (однородная) формулируется им для случая п пар искомых функций в связи с задачей отыскания дифференциальною уравнения, интегралы которого при обходе около особых точек претерпевают заданную линейную подстановку.

Риман не сделал никаких попыток решить поставленную им задачу. Первое решение однородной краевой задачи дал Гильберт, Пользуясь условиями того, что произвольная комплексная функция является краевым значением аналитической функции, Гильберт составил интегральное уравнение Фредгольма, которому удовлетворяет решение задачи Анализируя это уравнение, он доказал альтернативу; одна из двух задач с коэффициентом G(t) или разрешима. В дальнейшем авторы, рассматривавшие общий случай краевой задачи, шли по тому же пути сведения задачи к интегральному уравнению, используя в качестве аппарата интегралы типа Коши. Вместо альтернативы Гильберта здесь получалась альтернатива для коэффициентов G(t) и метод этот до сих пор применяется при решении задачи Римана со многими неизвестными функциями.

В 1941 г. Б. В. Хведслидзе обобщил это решение на многосвязную область. Задача Римана со сдвигом встречается впервые у Газемана. Он сводит се способом, аналогичным тому, который применил Гильберт для решения задачи Римана, к интегральному уравнению Фредгольма и получает ту же альтернативу, что и Гильберт для задачи Римана. Полное решение задачи Римана со сдвигом, некоторых ее видоизменений дано Д. А. Квеселавз.И в наши дни разрабатываются и интегрируются теории о краевой задаче Римана.