1 Окружность. Эллипс
При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они - уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведение х·у (степени складываем - получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: - урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R; - уравнение гиперболы, - уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть - центр
окружности. R - радиус окружности. Пусть - произвольная точка окружности. Следовательно, = =
(1)
(1) - уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.
Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. е. - межфокусное расстояние эллипса.
Пусть - произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.
По определению эллипса: r1 + r2 = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:
(2)
Умножим (2) на
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем (4) в квадрат:
Пусть
(5)
(5) - каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение
- каноническое уравнение эллипса с центром в точке
Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.
Точки , называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:
Так как
(6)
Эксцентриситетом эллипса называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.
(7)
Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.
При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.
Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4):
(8)
Из (3):
Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.
Прямые называются директрисами эллипса.
- левая директриса,
- правая директриса.
Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:
(9)
т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.