1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

Квадратичной формой (х₁, х₂, …, x_n) n действительных переменных х₁, х₂, …, x_n называется сумма вида

,(1)

где a_ij - некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a_ij = a_ji.

Квадратичная форма называется действительной, если a_ij ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица

то есть А^Т = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде (х) = х^ТАх, где

х^Т = (х₁ х₂ … x_n). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы

(х₁, х₂, x₃) = - 6х₁х₂ - 8х₁х₃ + + 4х₂х₃ -

и найти ее ранг.

Решение.

r(A) = 3

квадратичная форма невырождена.