Кривые и поверхности второго порядка
2. Приведение к каноническому виду
3. Исследование формы поверхности методом сечений
4. Графики уравнения поверхности.
5. Вывод
Введение
Цель:
Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Постановка задачи:
I) Для данного уравнения кривой второго порядка:
1) Определить тип кривой с помощью инвариантов.
2) При =0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра
3) Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.
II) Для данного уравнения плоскости второго порядка:
1) Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.
2) Построить поверхность в канонической системе координат.
Часть I. Исследование кривой второго порядка
1. Определение типа кривой с помощью инвариантов
Для данного уравнения кривой второго порядка:
(5 - )x2 + 4xy + 3y2 + 8x - 6y +5 = 0 (3.1)
определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
Для данного уравнения кривой второго порядка:
a11 = 5 - , a12 = 2, a13 = 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5
Вычислим инварианты:
I1 = a11 + a22 = (5 - ) +2 = 7 -
I2 == = (5 - )2 - 4 = 6 -2
I2 === (5 - )10-24-24-32-9(5 - )-20 = --95
Согласно классификации кривых второго порядка:
I. Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:
I2 = 6 - 2 = 0, следовательно, при = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.
При = 3 I3 = - - 95 = -3 - 95 = 98 0. Значит, при = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.
II. Если I2 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.
1. Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:
Значит, при < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.
a. Если I1 I3 < 0, то уравнение определяет эллипс:
I1 I3 = - (7 - )(+95) = 2+88-665 < 0, при решении получаем (-95 , 7). Следовательно, при (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.
b. Если I1 I3 > 0, то уравнение определяет эллипс:
I1 I3 = 2+88-665 > 0, при решении получаем (-, -95). Следовательно, при (- , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.
c. Если I3 = 0, то уравнение определяет две мнимые пересекающиеся прямые:
I3 = - - 95 = 0, при решении получаем - 95. Следовательно, при = - 95 уравнение (3.1) задаёт две мнимые пересекающиеся прямые.
2. Если I2 < 0, то уравнение задаёт кривую гиперболического типа:
Значит, при > 3 уравнение (3.1) задаёт кривую гиперболического типа.
a. Если I3 0, то уравнение определяет гиперболу:
I3 = - - 95 0, получаем -95. Следовательно, при (3 , +) уравнение (3.1) задаёт гиперболу.
Согласно полученным данным, построим таблицу:
(- , -95) |
= -95 |
(-95 , 3) |
= 3 |
(3 , +) |
|
Мнимый эллипс |
Две мнимые пересекающиеся прямые |
Эллипс |
Парабола |
Гипербола |