Кривые и поверхности второго порядка

курсовая работа

2. Приведение к каноническому виду

3. Исследование формы поверхности методом сечений

4. Графики уравнения поверхности.

5. Вывод

Введение

Цель:

Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

Постановка задачи:

I) Для данного уравнения кривой второго порядка:

1) Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2) При =0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра

3) Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.

II) Для данного уравнения плоскости второго порядка:

1) Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.

2) Построить поверхность в канонической системе координат.

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

Для данного уравнения кривой второго порядка:

(5 - )x2 + 4xy + 3y2 + 8x - 6y +5 = 0 (3.1)

определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.

Для данного уравнения кривой второго порядка:

a11 = 5 - , a12 = 2, a13 = 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5

Вычислим инварианты:

I1 = a11 + a22 = (5 - ) +2 = 7 -

I2 == = (5 - )2 - 4 = 6 -2

I2 === (5 - )10-24-24-32-9(5 - )-20 = --95

Согласно классификации кривых второго порядка:

I. Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:

I2 = 6 - 2 = 0, следовательно, при = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.

При = 3 I3 = - - 95 = -3 - 95 = 98 0. Значит, при = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.

II. Если I2 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.

1. Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:

Значит, при < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.

a. Если I1 I3 < 0, то уравнение определяет эллипс:

I1 I3 = - (7 - )(+95) = 2+88-665 < 0, при решении получаем (-95 , 7). Следовательно, при (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.

b. Если I1 I3 > 0, то уравнение определяет эллипс:

I1 I3 = 2+88-665 > 0, при решении получаем (-, -95). Следовательно, при (- , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.

c. Если I3 = 0, то уравнение определяет две мнимые пересекающиеся прямые:

I3 = - - 95 = 0, при решении получаем - 95. Следовательно, при = - 95 уравнение (3.1) задаёт две мнимые пересекающиеся прямые.

2. Если I2 < 0, то уравнение задаёт кривую гиперболического типа:

Значит, при > 3 уравнение (3.1) задаёт кривую гиперболического типа.

a. Если I3 0, то уравнение определяет гиперболу:

I3 = - - 95 0, получаем -95. Следовательно, при (3 , +) уравнение (3.1) задаёт гиперболу.

Согласно полученным данным, построим таблицу:

(- , -95)

= -95

(-95 , 3)

= 3

(3 , +)

Мнимый эллипс

Две мнимые пересекающиеся прямые

Эллипс

Парабола

Гипербола

Делись добром ;)