Аналітична геометрія

контрольная работа

Завдання 3

Знайти границі, не користуючись правилом Лопіталя.

а) б) в)

г) д) є)

Розвязок

Якщо функція елементарна та граничне значення аргументу належить її області визначення, то обчислення границі функції полягає в простій підстановці у функцію граничного значення аргументу. Коли ж аргумент прагне до нескінченності або до числа, яке не належить області визначення функції, тоді в кожному такому випадку потрібні спеціальні дослідження.

а) У даному випадку границю функції не можна знайти шляхом безпосередньої підстановки у дріб тому, що отримаємо невизначеність вигляду . Щоб усунути цю невизначеність, поділимо чисельник та знаменник дробу на старший степінь знаменника (на ).

б) Невизначеність вигляду усунемо шляхом скорочення дробу на . Для цього помножимо чисельник та знаменник на добуток і виконаємо відповідні перетворення.

в) При маємо невизначеність вигляду .

Треба скоротити дріб на . Для цього знайдемо корені чисельника та розкладемо його на множники. Ірраціональність знаменника усунемо шляхом переносу її у чисельник, тобто помножимо чисельник та знаменник на .

г) У цьому прикладі порівнюються нескінченно малі чисельника та знаменника при . Для усунення невизначеності вигляду використовуємо уявлення про еквівалентні нескінченно малі величини.

д) При обчисленні границь тригонометричних функцій використовуємо, коли в цьому є необхідність, відповідні тотожні тригонометричні перетворення.

є) При маємо невизначеність вигляду . Таку невизначеність можна усунути за допомогою тотожних перетворень заданої функції до вигляду другої визначеної границі.

Делись добром ;)