Завдання 4.
Задана функція
різними аналітичними виразами для різних областей зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують. Зробити малюнок.
Розвязок
Функція задана трьома різними аналітичними виразами. В першому інтервалі функція неперервна, в другому інтервалі (0,3) функція неперервна в усіх внутрішніх точках інтервалу, крім границь, в третьому інтервалі функція неперервна. Значить, ця функція може мати розрив тільки при і .
Розглянемо, як поводиться функція в точці .
Функція неперервна в точці , коли:
1. Визначена в точці і в точках її деякого околу;
2. Має в цій точці однобічні границі та виконуються рівняння
Знайдемо в кожній з цих точок границі зліва і справа.
Так як границі зліва і справа існують і різні, то функція в точці має кінцевий розрив. Скачок функції
Для встановлення неперервності функції в точці знайдемо границі ліворуч і праворуч в точці .
обчислимо значення функції в точці
Так як границі ліворуч і праворуч в точці однакові і дорівнюють значенню функції в точці , то вона в цій точці неперервна. Побудуємо графік функції
Рис.2.