Завдання 7

Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розвязок

1. Знаходимо область визначення функції: Функція має розрив в точці х=0.

2. Знайдемо вертикальні та невертикальні асимптоти графіка, для чого знаходимо односторонні границі функції:

Пряма х=0 є вертикальна асимптота графіка функції. Лінія наближається до асимптоти праворуч зверху.

3. Знаходимо невертикальну асимптоту у вигляді :

Невертикальна асимптота . Знайдемо взаємне розташування графіка функції та асимптоти

При і лінія знаходиться під асимптотою.

При і лінія знаходиться понад асимптотою.

4. Знаходимо інтервали монотонності та екстремуми функції:

.

Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки:

Крім того, похідна не існує в точці .

Ці точки ділять область визначення на чотири інтервали:

.

Знаходимо знак похідної в кожному інтервалі:

В інтервалі функція зростає.

В інтервалі функція спадає.

В інтервалі функція спадає.

В інтервалі функція зростає.

Функція має максимум при :

Функція досягає мінімуму при

5. Знаходимо точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості графіка функції, для чого знаходимо другу похідну:

- критична точка.

Крім того друга похідна не існує в точці х=0.

Інтервали опуклості та вгнутості

Знак другої похідної в кожному інтервалі

В інтервалі графік функції опуклий.

В інтервалі графік функції вгнутий.

Точка є абсциса точки перегину. Знаходимо ординату точки перегину:

Точка перегину А

в) Побудуємо графік функції:

Рис. 3.