Линейная сложность циклотомических последовательностей

курсовая работа

1.6 О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ДВОЙНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ПОСТОЯННЫХ НА ВТОРЫХ-ВОСЬМЫХ ПОРЯДКОВ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

В этом разделе мы иллюстрируем изложенные выше методы с примерами вычисления линейной сложности двойных и троичных последовательностей по областям где.

Пусть и . Используем теоремму 1 когда , тогда

(1.6.1)

где, если является нечетным и нулевым. По формуле (7) мы имеем

(1.6.2)

Циклотомические числа второго порядка зависящие от , если четно, тогда, и если является нечетным, тогда . Поэтому, по (1.6.1) и (1.6.2) формуле мы получаем, чтоСледовательно, и являются корнями полином-многочлена . Принятие во внимание предположения , мы получаем тогда и только тогла в области .

если , тогда для или , поэтому:

1). , если или ;

2). , где является корнем уравнения , если или .

В случае, если , тогда для или , так:

1). , если или ;

2). , где - корень уравнения , если или .

Пусть , и . Циклотомические числа третьего порядка сформированы разложением , где являются целыми числами [10]. В частности мы имеем

Если и четно, тогда модуль остатков два из перечисленных циклотомических чисел равняется нолю, исключая . По теореме 1.3 и формуле (1.5.7), мы получаем следующий набор уравнения для неизвестного , и:

(1.6.3)

По формуле (1.6.3) , мы получаем , если.

В случае, если , тогда

для.

Тогда , где - корень уравнения .

Полученные значения позволяют вычислять линейную сложность последовательностей, например если , то есть, (1.5.6), является характерной последовательностью , где для и когда .

В случае, если , и is even, тогда и . В таких остатках выбора циклотомических чисел третьего порядка, вычислены формулами:

Тогда, для теореме 1.2 и формуле (1.5.7) мы получаем следующую систему уравнений:

(1.6.4)

Исследование (1.6.4), и также подобронного к нему значения , зависящие от остатков , и значений мы получаем следующие решения:

1). (до перестановки), если , или , ;

2). , , если , или , ;

3). , если , или , ;

4). , где являются корнями уравнения:

, если , или , ;

, если , или , ;

, если , или , .

Циклотомические изменения значений не влияют на вычисление линейной сложности. Кроме того, , если [10], тогда . По этому, , по (7) - корни полином-многочлена , который разложен на множители в области следующим образом . Это точно соответствует результатам последнего, четвертого случая.

Пусть , для . В этом подразделе и в следующих мы ограничимся с исследованием значений полином-многочлена двоичной последовательности, потому что линейная сложность троичных последовательностей когда в области был изучен в [11]. Циклотомические числа четвертого порядка сформированы разложением: [10], где - целые числа, и зависят от , совпадает с .

Если даже является следствиями подраздела 1.6.1, . По определению вспомогательного полином-многочлена, , где

(1.6.5)

Для циклотомические числа четвертого порядка, сформированны

После вычисления их модуля два остатка , где являются целыми числами, по теореме 1.2 и формуле (1.6.5), мы имеем

(1.6.6)

После изучения (1.6.5) и (1.6.6), в зависимости от модуля остатков мы получаем:

1). , если , ;

2). , если , ;

3). , если , , где является корнем уравнения: ;

4). , если , .

Если - нечетный, тогда как и показанно в разделе 1.6.1, . В этом случае, то же самое что касается значения .

5). , если , где является корнем уравнения: or , где является корнем уравнения . Если , где является корнем первого порядка, иначе второго. Полученные формулы для позволят вычислять линейную сложность и минимальный полином-многочлен любой двоичной последовательности простого периода , построенный в циклотомических классах четвертого порядка, включая изученные в [5]. Особенно, если является характерной последовательностью биквадратного класса остатка, тогда , если или .

Пусть, для . Циклотомические числа 6 порядка сформированы разложением: [12], где являются целыми числами, в зависимости от .

По определению вспомогательного полином-многочлена мы имеем . Которые показывают в подразделе 1.6.2 значения завищащие от , где определена от разложения . От отношений между и [10] мы получаем это, тогда и только тогда, когда. Следовательно, если , когда и

(1.6.7)

Если является нечетным, тогда и циклотомические числа шестого порядка определены [12]:

После вычисления их по модулю два по теореме 1.1, мы добираемся

(1.6.8)

Решение (1.6.7) и (1.6.8) приводит к следующему:

1). , если , , где i корень уравнения: ;

2). , если , ;

3). , если , ;

4). , если , .

Полученные значения с данными предположениями, позволят вычислить линейную сложность любой двоичной последовательности, постоянной на циклотомических числах шестого порядка, включая последовательности [4]. Случаи, когда четно, изучены таким же образом.

1.6.5. Пусть , для . Циклотомические числа восьмого порядка определены разложением [10, 13] , где являются целыми числами, и зависят от остатка по модулю четыре. В этом подразделе мы ограничимся исследованием значений только для двоичных последовательностей с нечетными значениями и .

Как для результатов подраздела 1.6.3 мы имеем

(1.6.9)

Если является нечетным и , тогда от разложения мы получаем , где являются целыми числами. После вычисления модуля двух остатков циклотомических чисел восьмого порядка

По теореме 1.1 и формуле (1.6.9) мы добираемся

(1.6.10)

Так, по (1.6.9) и (1.6.10) следуя за этим, числа принадлежат множеству , где корень полином-многочлена , и зависят от остатков по модулю два. Чтобы упорядочить их, мы используем заключение теоремы 1.1. В данном случае Наконец мы получаем:

1). , или , ;

2). , или , ;

3). , или , ;

4). , или , ;

5). , или , ;

6). , или , ;

7). , или , ;

8). , или , .

Лемма 1.5. Если является характерной последовательностью набора различных остатков, тогда его линейная сложность равняется , и в случае, если, когда соответствует набору разных остатков и ноля, тогда .

Док. Класс остатков в различных положониях, если [10]. Поэтому, , тогда среди значений есть пять нолей. По лемме 1.5, и формуле (1.5.3) следует доказательство первого утверждения леммы 1.4. Второе мы доказываем почти таким же способом. Минимальный полином-многочлен последовательности может быть вычислен в случае (1.5.4).

Делись добром ;)