Введение

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Основной особенностью дифференциальных уравнений является непосредственная их связь с приложениями. Изучая какое-либо явление, прежде всего, необходимо создать его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, записываются основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто законы физики, химии, биологии можно выразить в виде дифференциальных уравнений.

Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. Одними из основных задач являются задачи существования у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям, единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения.

Важным достижением теории обыкновенных дифференциальных уравнений явилось изучение структурной устойчивости систем. При использовании любой математической модели возникает вопрос о корректности применения математических результатов к реальной действительности. Если результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые изменения модели приведут к модели с совершенно иными свойствами. Такие результаты нельзя распространять на исследуемый реальный процесс, так как при построении модели всегда проводится некоторая идеализация и параметры определяются лишь приближенно.