Линии равновесия систем третьего порядка с квадратичными нелинейностями

курсовая работа

Глава 1. Основные понятия и определения

Определение 1. Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений называется система

или в матричной форме

- матрица размерности nЧn.

Определение 2. Системой дифференциальных уравнений порядка М называется система

(1)

Где - скалярные функции, зависящие от , - непрерывные в области пространства переменных размерности M+1.

Определение 3. Системы вида (1) называются каноническими, поскольку они разрешены относительно старших производных.

Определение 4. Система уравнений n-го порядка, разрешенных относительно первых производных искомой функции

(2)

называется нормальной.

Определение 5. Решением системы (1) называется совокупность n функций определенных на промежутке (a,b) удовлетворяющих следующим условиям:

1. соответственно раз непрерывно дифференцируемы при ;

2. Точка для всех ;

3. Для всех , удовлетворяет системе (2).

Определение 6. Задачей Каши системы (2) называется задача: найти решение системы (2), которое при удовлетворяет начальным условиям .

Определение 7. Общим решением системы

называют семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных C1,C2,...,Cn

Так как работа посвящена системам третьего порядка, приведем несколько основных определений.

Определение 8. Нормальной системой третьего порядка называется система

(3)

Определение 9. Общим решением системы (3) называют семейство функций, зависящее от постоянных

Теперь рассмотрим систему вида (4)

(4)

Систему (4) будем называть автономной или динамической нормальной обыкновенной системой третьего порядка.

Пространство системы (4) называется фазовым пространством. Оно является пространством наибольшей размерности, в котором можно представить поведение траекторий этой системы.

Отражение действительной оси t с помощью решения системы (4) в фазовое пространство будем называть траекторией.

Решение системы (4) может быть задано в неявной форме

(5)

Систему (5) будем называть общим интегралом системы (4). Каждое из равенств (5) называется первым интегралом системы (4).

Геометрический смысл: первый интеграл представляет собой семейство поверхностей в фазовом пространстве . Второе и третье уравнение системы (5) также представляют собой семейства поверхностей. Линии пересечения этих поверхностей являются интегральными кривыми системы (4).

Пусть дана функция

(6)

Для того, чтобы (6) была первым интегралом (4) необходимо и достаточно, чтобы

называется производной от функции (6) в силу системы (4).

является обобщением понятия производной по направлению, которое определяет система (4). Геометрически это означает, что траектории системы (4) лежат на поверхностях (6).

Если в (6) зафиксировать , то получим частный первый интеграл системы (4).

Наличие первого интеграла системы (4) позволяет понизить её порядок. Для этого из (6) выразим и подставим в первые два уравнения системы (4). Получим динамическую систему второго порядка.

Очевидно, траектории этой системы на фазовой плоскости являются проекциями траекторий системы (4), лежащих на поверхности (6). Проекции на фазовой плоскости топологически эквивалентны траекториям на поверхности (6), т.е. траектории на плоскости дают нам фазовый портрет траекторий, лежащих на поверхности (6).

Фазовые портреты динамических систем в качественной теории дифференциальных уравнений строятся с точностью до гомеоморфизма (взаимно-однозначного непрерывного отображения). Такие портреты называются топологически эквивалентными.

Качественная теория состоит из двух основных разделов:

1. Локальная качественная теория. Её основная задача состоит в изучении поведения траекторий динамической системы в окрестности точки покоя.

2. Построение фазового портрета в целом динамической системы.

Основным элементом фазового портрета системы третьего порядка является поведение траекторий этой системы в окрестности точек покоя.

Рассмотрим основные типы точек покоя для системы (3).

Характеристическое уравнение для точки покоя этой системы представляет собой алгебраическое уравнение третей степени над R.

(7)

Как известно, уравнение третей степени над полем действительных чисел имеет ровно три корня, если каждый корень считать столько раз, сколько его кратность.

1. Корни уравнения (7) - действительные отрицательные (положительные) числа. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) трехмерным узлом и изображено на рис.1.

Рис.1.

2. Один из корней - действительный, два других - комплексные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) трехмерным фокусом и изображено на рис.2.

Рис.2.

3. Один из корней - действительный, два других - комплексные, причем знаки действительного корня и действительных частей двух других - комплексно-сопряженных - разные. Состояние равновесия в этом случае называется трехмерным фокусом и изображено на рис.3.

Рис.3.

4. Все корни действительные и разных знаков. Этот случай соответствует двум типам особых точек трехмерное седло, изображенным на рис.4.

Рис.4.

5. Один из корней - действительный, два других - комплексные, причем действительная часть комплексно-сопряженного корня ровна нулю. Состояние равновесия в этом случае называется трехмерным центром.

6. Один корень равен нулю, а два другие отличны от нуля. В этом семейство интегральных поверхностей представляют собой параллельные плоскости.

7. Два корня равны нулю, один отличен от нуля. В этом случае траектории представляют собой прямые.

8. Все корни равны нулю. Весь фазовый портрет состоит из точек покоя.

Делись добром ;)