§5. Индуктивный метод построения магических квадратов произвольного порядка

Два числа ряда

(3)

называют взаимно дополнительными, если их сумма равна . Число, дополнительное числу , обозначают символом . Таким образом, При n четном все числа ряда (3) располагаются на пары () взаимно дополнительных чисел. При n нечетном это верно для всех чисел ряда (3), за исключением среднего числа , которое дополнительно самому себе.

Квадрат порядка n-2, в котором размещены различные числа из ряда (3), называют обобщенным магическим квадратом, если:

1. сумма чисел каждого вертикального или горизонтального ряда, а также обеих диагоналей, равна ;

2. вместе с некоторым числом a ряда (3) в этот квадрат входит также и дополнительное число .

Увеличив все числа некоторого магического квадрата порядка n-2 на 2n-2, получаем обобщенный магический квадрат.

Такой квадрат можно получить из квадрата Дюрера (рис.5.1), оставляя неизменными числа 1,2, ...,8 и увеличивая все остальные на 20(рис.5.2).

Рис. 5.1. Рис. 5.2. Магический квадрат Дюрера. Обобщенный магический квадрат

Некоторый магический квадрат К порядка n получается окаймлением обобщенного магического квадрата К порядка n-2, если, удаляя из квадрата К его крайние ряды, мы получим квадрат К.

Рассмотрим такой квадрат (рис.5.3) полученный окаймлением обобщенного магического квадрата, изображенного на рисунке 5.2 [2].

Рис. 5.3. Обобщенный магический квадрат, полученный путем окаймления