Основные понятия

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3) в существует единичный элемент , т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если - конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что - подгруппа группы , а - что - собственная подгруппа группы , т.е. и .

Теорема Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .

Пусть - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .

Лемма 1. Если - подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если и - подмножество группы и , то .

3. Если - подмножество группы и , то .

Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е. .

Следствие Циклическая подгруппа абелева.

Пусть - элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок.

Если - непустое подмножество группы и то и . Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Лемма Пусть - непустое подмножество группы , - произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если - подгруппа группы , то .

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: " - нормальная подгруппа группы ". Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Теорема Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:

1) - нормальная подгруппа;

2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;

3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .

Лемма Пусть - подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если и , то ;

3) - наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5) для любого непустого подмножества группы .

В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.