1.2 Оптимальные смешанные стратегии и их свойства

Исследование матричной игры начинается с нахождения ее седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой точки заканчивается исследование игры. Если же в матричной игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что первый игрок не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Такие рекомендации относительно поведения игроков в матричной игре без седловой точки в чистых стратегиях не могут удовлетворять исследователей и практических работников. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партий. Так, например, проводится серия игр в шахматы, шашки, футбол, и каждый раз игроки применяют свои стратегии таким образом, что их противники не догадываются об их содержании, и на этом пути в среднем достигают определенных выигрышей, сыграв всю серию партий. Эти выигрыши в среднем больше нижней цены игры и меньше верхней цены игры. Чем больше это среднее значение, тем лучше стратегии применяет игрок. Поэтому возникла идея применять чистые стратегии случайно, с определенной вероятностью. Это полностью обеспечивает секретность их применения. Каждый игрок может изменять вероятности применения своих чистых стратегий таким образом, чтобы максимально увеличить свой средний выигрыш и на этом пути получать оптимальные стратегии. Такая идея привела к понятию смешанной стратегии.[2]

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Таким образом, если первый игрок имеет т чистых стратегий 1, 2, … i,… m, то его смешанная стратегия х -- это набор чисел х = (х₁, х₂, ..., х_i ,…, х_т) удовлетворяющих соотношениям

x_i 0 (i = 1, 2, ... , т), = 1. (1.15)

Аналогично для второго игрока, который имеет п чистых стратегий, смешанная стратегия у -- это набор чисел у = (у₁,…, у_j , … у_n ), удовлетворяющих соотношениям

y_j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместимыми событиями. Кроме того, они являются единственно возможными событиями.

Очевидно, чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью единица, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.[2]

Определение. Средний выигрыш первого игрока в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей

Е (А, х, у)= (1.20)

Очевидно, средний выигрыш первого игрока есть функция двух наборов переменных х и у. Первый игрок имеет целью за счет изменения своих смешанных стратегий х максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А, х, у), а второй -- за счет своих смешанных стратегий стремится сделать Е (А, х, у) минимальным, т. e. для решения игры необходимо найти такие х, у, при которых достигается верхняя цена игры.