4. Аксиоматический метод

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод Аксиоматический метод, способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. - один из способов дедуктивного построения научных теорий. В основании аксиоматически построенной теории лежат аксиомы, т.е. предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения теории выводятся из аксиом (т.е. доказываются, являются теоремами) на основании логических правил вывода и правил определения предложений, допускаемых в данной теории. Понятие аксиоматической теории было уточнено путем введения определения формальной системы, состоящей из языка системы, аксиом системы, правил вывода системы. Язык системы состоит из алфавита (перечня элементарных символов системы) и синтаксиса (правил, по которым из элементарных символов строятся формулы, предложения системы). Правила вывода позволяют получать из аксиом теоремы.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике используют два вида умозаключений: индукция - метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок и дедукция - способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах. Дедуктивная система изложения сводится: к перечислению основных понятий, к изложению определений, к изложению аксиом, к изложению теорем, к доказательству этих теорем:

аксиома - утверждение, принимаемое без доказательств, теорема - утверждение, вытекающее из аксиом, доказательство - составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э) в непревзойденном по своей значимости труде - "Начала". Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома - аксиома о параллельных (V постулат Евклида). Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, когда Н.И. Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих попыток.

В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом. Аксиому о параллельных Лобачевский заменил аксиомой: "Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые". Из новой системы аксиом он с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия превратилась в совокупность разнообразных теорий.