1.1 Задачи об антипростых числах
При изучении антипростых чисел и их свойств были решены ряд следующих задач, поставленных на XI турнире юных математиков.
1. Покажите, что в натуральном ряду не могут идти подряд четыре антипростых числа.
Решение. Среди подряд идущих четырех натуральных чисел два - чётные. Их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на но не делится на , т.е. не антипростое. Заметим также, что эти два четных числа не могут быть взаимноантипростыми и антипростыми порядка p.
2. Могут ли три антипростых числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника?
Решение. Три антипростых числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
Приведем в качестве примера треугольник со следующими длинами сторон: ,,. Доказательством того, что этот треугольник является прямоугольным, является выполнимость теоремы Пифагора:
.
Заметим также, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка p.
3. Могут ли три (четыре, пять, …) антипростых числа быть членами арифметической прогрессии?
Решение. Любое количество антипростых чисел может быть членами арифметической прогрессии.
Примером являются следующие n подряд идущие члены арифметической прогрессии: , 2, 3, …, с разностью , где p > 1.
Эти числа также взаимноантипросты и антипростые порядка .
4. Могут ли пять антипростых чисел составлять множество чисел вида a, a ± b, a ± (b + c) и т.д.?
Решение. Ответ на этот вопрос зависит от величины чисел b и c. Например, если они равны по 1, то из первой задачи следует, что таких пяти антипростых чисел нет (нет 4 подряд идущих). Но найти такие a, b и c, что a, a ± b, a ± (b + c) антипростые можно. Например, 2, 4, 5, 6, 8, где n > 8, p > 1. Заметим, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка .
Легко получить сколько угодно слагаемых такого вида, выбирая различные a, b и c, а затем домножая на с соответствующим n.
5. Покажите, что во множестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых два являются антипростыми.
Решение. Во множестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых два являются антипростыми. Например, (7, 8, 9), (8, 9, 10), (25, 26, 27). В первой тройке второе число и третье число, во второй тройке первое число и второе число, а в третьей тройке первое число и третье число являются антипростыми числами.
6. Покажите, что таких троек бесконечно много.
Решение. Покажем, что таких троек бесконечно много.
Рассмотрев первую тройку (p-1, p, p+1), из которой p и p+1 антипростые числа, получаем тройку (q-1, q, q+1), где числа q = 4p(p+1) = (2p+1)2 - 1 и q+1 = , очевидно, антипростые как произведение антипростых чисел и квадрат, который всегда антипростое число. Из тройки (7, 8, 9) получим тройку (287, 288, 289), из нее (332 927, 332 928, 332 929) и так далее. В результате получим бесконечное число таких троек.
Аналогичный алгоритм применяется и для троек вида (p, p+1, p+2), в которой p и p+1 антипростые числа.
В журнале КВАНТ №4 за 2007 год [2] приведен простой алгоритм, как из третьего вида тройки получить бесконечную серию таких троек. Он опирается на равенство (2n3+3n)2+2=(2n2+1)2(n2+2), которое легко проверяется раскрытием скобок. Действительно, раскрыв скобки слева и справа, получим 4n6+12n4+9n2+2. Но тогда с тройкой (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, получаем тройку (k2, k2+1, k2+2), где k = 2n3+3n. Согласно доказанному выше равенству k2 и k2+2 являются антипростыми числами. Так из (25, 26, 27) получаем (70 225, 70 226, 70 227) = (2652, 2652+1, 17235). Взяв n = 265, получим следующую тройку и так далее.
7. Могут ли все три числа n 1, n, n + 1 быть антипростыми?
Решение. Доказать, что нет трех подряд идущих антипростых чисел или найти такую тройку не удалось. Однако заметим, что в журнале КВАНТ №4 за 2007 год [1] также отмечается, что ответ на этот вопрос авторам неизвестен. Во всяком случае, среди чисел до 2 000 000 таких троек нет. Мною повышена эта оценка до 3 136 000 000 чисел.
Верно следующее утверждение.
Если существует тройка анипростых чисел n 1, n, n + 1, то существует антипростое число вида .
Доказательство:
Докажем, что если существует тройка антипростых чисел вида n 1, n, n + 1, то число n чётное. Действительно, если числа n 1, n +1 - чётные, то их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на , но не делится на , т.е. не антипростое противоречие.
Так как антипростое и чётное, то оно делится на 4, то есть имеет вид . Тогда . Антипростое число, умноженное на антипростое число - анипростое число. То есть число тоже антипростое.
Верно и обратное утверждение.
Если существует антипростое число вида (4k - антипростое), то и существует тройка подряд идущих антипростых чисел.
Доказательство:
, НОД()=1. Значит числа антипростые, то есть существует тройка подряд идущих антипростых чисел.
Данное утверждение равносильно задаче о существовании трёх подряд идущих антиростых чисел. Саму задачу решить сложно. Но, возможно, проще окажется задача о существовании антипростого числа вида . И если такое число существует, может ли при этом 4k быть антипростым?
Заметим, что из тройки анипростых чисел (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, можно получить числа и , являющиеся антипростыми (антипростое умноженное на антипростое число - анипростое число).
Но с помощью данного алгоритма нельзя получить антипростое число вида . Действительно, n2 и n2+2 - нечётны, то есть - чётное, так как n2 имеет вид , то делится на 16, но не делится на 4, следовательно, не представимо в виде .