Введення

Одним з основних розділів курсу математичного аналізу є розділ, що вивчає теорію межі послідовності й межі функції. Дана теорія є значимою для вивчення багатьох інших розділів математичного аналізу, а також інших дисциплін математики.

Метою даної курсової роботи є доказ теореми Штольца. У роботі докладно розглянуті наступні аспекти: поняття межі послідовності, характерні приклади обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, теорема Штольца й приклади її застосування.

Тема даної курсової роботи «Межа послідовності. Теорема Штольца». Для того щоб поглибитися у вивчення даного питання, для початку, згадаємо деякі визначення, твердження й теореми з початкового вивчення математичного аналізу, впритул дотичні основний проблеми порушеної в курсовій роботі.

У фізику й в інших науках про природу зустрічалася множина різних величин: час, довжина, обєм, вага й т.п. Кожна з них, залежно від обставин, то приймала різні значення, те лише одне.

У математику, однак, ми відволікаємося від фізичного змісту розглянутої величини, цікавлячись лише числом, яким вона виражається фізичний зміст величини, знову здобуває важливість, лише, коли займаються додатками математики. Таким чином, для нас змінна величина (або коротше - змінна) є відверненою або числовою змінною. Її позначають яким-небудь символом (буквою, наприклад, х), якому приписують числові значення.

Змінна вважається заданої, якщо вказана множина Х={х} Постійну величину (коротше - постійну) зручно розглядати як окремий випадок змінної; він відповідає припущенню, що множина Х={х} складається з одного елемента.

Перейдемо до встановлення поняття числової послідовності.

Визначення: якщо кожному n є N, поставлено у відповідність x_n є N, те говорять, що

(1)

утворять числову послідовність.

- члени послідовності

- загальний член послідовності

Уведене визначення має на увазі, що будь-яка числова послідовність повинна бути нескінченна, але не означає, що всі члени повинні бути різні числа.

Числова послідовність уважається заданої, якщо зазначено закон, по якому можна знайти будь-який член послідовності.

Члени або елементи послідовності (1) занумеровані всіма натуральними числами в порядку зростання номерів. При n+1 > n-1 член треба за членом ( передує ), незалежно від того, чи буде саме число більше, менше або навіть дорівнює числу .

Визначення: Змінну x, що приймає деяку послідовність (1) значень, ми - випливаючи Мере (Ch. Meray) - будемо називати варіантою.

У шкільному курсі математики можна зустріти змінні саме такого типу, типу варіанти.

Наприклад, послідовність виду

(арифметична) або виду

(геометрична прогресія)

Змінний член тієї або іншої прогресії є варіанта.

У звязку з визначенням довжини окружності звичайно розглядається периметр правильного вписаного в окружність багатокутника, одержуваного із шестикутника послідовним подвоєнням числа сторін. Таким чином, ця варіанта приймає послідовність значень:

Згадаємо ще про десяткове наближення (по недоліку) до , із всі зростаючою точністю. Воно приймає послідовність значень:

і також представляє варіанту.

Змінну x, що пробігає послідовність (1), часто позначають через , ототожнюючи її зі змінним («загальним») членом цієї послідовності.

Іноді варіанта x_п задається тим, що вказує безпосередньо вираження для x_п; так, у випадку арифметичної або геометричної прогресії маємо, відповідно, x_п =а+(n-1) d або x_п =aq^n-1. Користуючись цим вираженням, можна відразу обчислювати будь-яке значення варіанти по заданому його номері, не обчислюючи попередніх значень.

Для периметра правильного вписаного багатокутника таке загальне вираження можливо лише, якщо ввести число р; взагалі периметр р_m правильного вписаного m-косинця дається формулою