4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий

З елементарної арифметики відомо, що звичайний нескоротний дріб у перетворюється в скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли канонічний розклад знаменника не містить простих множників відмінних від 2 і 5.

Нехай нескоротний дріб і канонічний розклад знаменника містить прості числа, відмінні від 2 і 5; перетворюватимемо такий дріб у десятковий.

Нескінченний десятковий дріб, десяткові знаки якого періодично повторюються, називається періодичним, десятковим дробом. Якщо десяткові знаки повторюються, починаючи з першого, то десятковий дріб називається чистим періодичним, у противному разі він називається мішаним періодичним дробом.

Теорема 1. Якщо нескоротний дріб і (,

10) = 1, то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб; число цифр у періоді дробу дорівнює , де - показник, до - якого належить число 10 за модулем .

Доведення. Справді, не порушуючи загальності міркувань, можна нескоротний дріб вважати правильним (якщо він неправильний, тобто

, то. ми спочатку виділимо цілу частину); отже, можна вважати рівним одному з чисел, менших і взаємно простих з .

Перетворюватимемо дріб у десятковий за загальними правилами:

для цього поділимо спочатку 10 на позначаючи через частку і через - остачу від цього ділення, отримаємо:

Тепер поділимо на :

;

далі ділимо на :

і т.д. Такий процес нескінченний, бо щоразу будуть остачі, менші від і взаємно прості з . Справді, , за умовою, тому і ; аналогічно , а тому і т.д.

Звідси випливає, що різних остач при зазначеному діленні буде не більш, як . Це означає, що не пізніш як через кроків ми дістанемо повторення остач, а отже, й повторення цифр частки.

Для доведення теореми залишається показати, що перше повторення настане після ділень, де - показник, до якого належить 10 за модулем причому перша остача, яка повторюється, саме и буде . Тому знайдений дріб буде чистим періодичним з числом цифр у періоді, яке дорівнює .

Але для доведення цих тверджень досить встановити, що коли - найменший показник, для якого

, (1)

то при діленні на будь-якого числа і взаємно простого з остача повториться тільки після визначення цифр частки.

Справді, конгруенція (1) еквівалентна конгруенції:

. (2)

Ця конгруенція саме й показує, що приписавши до числа нулів, що відповідає визначенню послідовних цифр частки, дістанемо при діленні на остачу . Через те що -найменше невідємне число, для якого мають місце конгруенції (1) і (2), то жодна остача не може повторитись раніш як через ділень. Зокрема, при діленні на перша остача, що повторюється, саме й буде причому вона повториться точно через ділень. Цим теорему доведено.

Бачимо, залежить тільки від знаменника нашого дробу і, звичайно, від основи нашої системи числення, тобто від числа g = 10. Тому два дроби і , які задовольняють умову теореми 1, матимуть одну й ту саму довжину періоду при перетворенні їх у десяткові дроби.

Приклад. Знайти довжину періоду, який утворюється при перетворенні дробів , де - будь-яке ціле, взаємно-просте з 21 у десяткові. Тут ; ділимо:

У частці маємо 6 цифр, беручи до уваги й 0, який відповідає першій дев?ятці. Отже, , тобто шуканий період складається з 6 цифр.

Теорема 2. Якщо нескоротний дріб і , де , то цей дріб перетворюється у мішаний періодичний десятковий дріб; число цифр у періоді дробу дорівнює де - показник, якому належить 10 за модулем ; число цифр до періоду дорівнює де - найбільше з чисел або .

Доведення. Справді, нехай дріб - нескоротний, причому

,

Помножимо на ; після скорочення в знаменнику множників 2 і 5 отримаємо:

,

де дріб - нескоротний і . За теоремою 1, цей дріб перетворюється у чистий періодичний з числом цифр у періоді, яке дорівнює , де - показник, до якого належить 10 за модулем . Щоб з нього дістати дріб , треба поділити на , тобто перенести кому в знайденому періодичному дробі на знаків ліворуч. У результаті отримаємо мішаний періодичний дріб з числом цифр до періоду, що дорівнює . Цим теорему доведено.

Приклад. ; маємо . Знайдемо , тобто показник, до якого належить 10 за модулем 7. Маємо:

.

Отже, ( можна знайти згідно з зауваженням зробленим вище). Таким способом усі дроби виду , де , перетворюються в мішані періодичні дроби з числом цифр у періоді, яке дорівнює 6, і з числом цифр до періоду яке дорівнює 2. Так наприклад, безпосередньо переконуємось, що

.

Розглянемо обернену задачу: знайти звичайний дріб, який відповідає заданому періодичному дробу.

Нехай дано чистий періодичний дріб: де - ціла частина, тобто

,

або

;

але

,

де число зображається девятками. Отже отримаємо:

,

тобто для того, щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, треба період дробу зробити чисельником, а в знаменнику написати стільки девяток, скільки цифр у періоді, і знайдений дріб додати до цілої частини. Нехай тепер дано мішаний періодичний дріб:

Його можна подати так:

Звідси виводимо таке правило: щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичайний, треба від числа, що стоїть між комою і другим періодом (тобто від числа ), відняти число, яке стоїть між комою і першим періодом (тобто число ), і цю різницю зробити чисельником; у знаменнику треба написати стільки девяток, скільки цифр у періоді, й після них - стільки нулів, скільки цифр між комою й першим періодом, і цей дріб додати до цілої частини N.

Зауваження. Можна відразу перетворити періодичний дріб у звичайний неправильний дріб (не виділяючи цілої частини). Для цього треба цифри цілої частини вважати цифрами, що стоять до періоду, й застосувати правило для перетворення мішаного періодичного дробу в звичайний. При такій побудові знаменника цифри цілої частини враховувати не слід.

Приклад.

, або .