1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных:

или, в векторной форме

где -- малый положительный параметр, -- неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему.

В работах (^х) -- (⁵) находится асимптотика решений системы (1.1) в случае, когда при каждом z любое решение системы «быстрых движений» **

при приближается либо к устойчивому положению равновесия, либо к устойчивому предельному циклу.

Но возможны случаи, когда система «быстрых движений» (1.2) может не иметь асимптотически устойчивых положений равновесия и изолированных предельных циклов. Такова, например, гамильтонова система. Целью настоящей работы и является изучение этих случаев. Так, в § 2 с точностью до величин порядка О (г) находится решение системы (1.1), для которой соответствующая система «быстрых движений» гамильтонова и к = 2, т. е. находится решение системы

Асимптотические формулы для решения этой системы находятся для области, где траектории соответствующей гамильтоновой системы «быстрых движений» при каждом векторе z замкнуты (в случае невырожденного центра в рассматриваемую область включается и сам центр). Метод исследования системы (1.3) таков: сначала рассматривается система «быстрых движений» (1.4), а затем система (1.3) после соответствующей замены переменных усредняется вдоль решений (1.4). Оказывается, что уравнение с малым параметром и. при старшей производной и с пропущенной в основном члене Q (п -- 1)-й производной, исследованное В.М. Волосовым (при п -- 2 -- в работе (^12Г), при F ~ О -- в работах (⁸) -- (^п)) методом конечных разностей, является частным случаем системы (1.3). Поэтому результаты работ (⁸) -- (¹²) (эти результаты сформулированы в § 3 настоящей работы) следуют из результатов § 2.

Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любой наперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнения был дан в работе Ю.А. Митрополъским.

Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ (³) -- (⁴) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова [работы (⁸) -- (¹²)] относительно уравнения (1.5) была поставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова в Ленинграде в середине апреля 1957 г.

Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценные указания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.