Метод золотого перерізу для пошуку екстремумів функцій

курсовая работа

1. Теоретичні відомості

З задачами пошуку екстремуму однієї змінної частково вивчають у курсі математичного аналізу. На перший погляд ці задачі видаються простими і добре вивченими. Однак методи диференціального числення мають обмежене застосування і не завжди зручні для реалізації на ЕОМ. Хоча в останні десятиліття зявилися набагато зручніші методи для використання на ЕОМ, які вимагають меншого обєму чисельної роботи, але тим не більше цю область екстремальних задач не можна рахувати завершеною. Роботи, присвячені для нових методів екстримізації однієї змінної, продовжують зявлятися на сторінках математичних книг і журналів. Ми тут зупинимося на декотрих найбільш відомих методах, які достатньо добре себе проявили на практиці.

1.1 Мінімізація однієї змінної

Задача мінімізації однієї змінної має такий вигляд: де

Залежно від функції і множини множина розвязків , може містити одну, декілька, або навіть і безмежну кількість точок. Можливі випадки, коли

Приклад 1: нехай , при і На множині мінімальне значення дорівнює 0, одна точка. Якщо то - три точки, у випадку - зчисленна множина точок, а для

Зазначимо таке: якщо то нижня межа і min функції збігаються У цьому випадку говорять,що на досягає своєї нижньої межі,завжди існує, а не завжди має сенс.

Означення I: Послідовність називають мінімізаційною для функції на множині , якщо

Означення II: Послідовність збігається до не порожньої множини , якщо де - відстань від до множини.

Якщо то завжди існує мінімізаційна послідовність, яка збігається до . Однак не кожна мінімізаційна послідовність буде збігатися до .

Приклад 2:

У нашому випадку Послідовність для є мінімізаційною

хоча

У разі розвязування задач мінімізації на множині розрізнятимемо два типи задач:

1) Необхідно визначити

2) Потрібно визначити і точку

У першому випадку можливий варіант у другому - обовязково . Отримати точний розвязок задачі першого,або другого типів практично неможливо. Тому в першому випадку за беруть, для мінімізаційної послідовності , деяке значення при достатньо великому . Для задач другого типу необхідно побудувати мінімізаційну послідовність ,яка збігається до , і за наближення до і взяти, відповідно і при достатньо великому . Під час розвязування задач другого типу в окремих випадках треба виконувати додаткові дослідження.

У випадку розвязування задачі можна використовувати класичний метод. Нехай функція кусковогладка на [a,b], тобто може існувати лише скінчена кількість точок, де має розрив першого роду, або неперервна, однак не має похідної. У цьому разі точкою екстремуму функції на [a,b] може бути лише та точка, для якої виконується одна з умов:

1). має розрив першого роду;

2). неперервна, однак похідна не існує;

3).

4). х - точка на кінці відрізка;

Ці точки прийнято називати підозрілими на екстремум. На жаль, класичний метод має досить вузьке застосування. Обчислення похідної в окремих випадках може бути трудомісткими, або взагалі неможливо обчислити.

Крім того, розвязування рівняння може бути не менш складним, ніж вихідна задача. Тому на практиці використовують методи, які дають змогу безпосередньо знайти мінімум . Для цього треба зробити обмеження на класи функції.

Означення III. Функція є унімодальною на проміжку , якщо існують такі числа , що:

1). строго монотонно спадає при ;

2). строго монотонно зростає при ;

3). при , тобто

Випадки, коли один з відрізків , , або два одночасно вироджуються в точку, можливі. Якщо , то є строго унімодальною на [a,b].

Означення IV. Відрізок є локалізований, якщо і значення обчислено не більше, ніж в одній точці .

Делись добром ;)