1.2 Властивості інверсії

Перш, ніж розглянути властивості інверсії, установимо одну просту лему, що відіграє істотну роль при вивченні властивостей інверсії.

Лема. Нехай інверсія ц переводить крапки А и В відповідно в крапки Аґ і Вґ (передбачається, що крапки А и В відмінні від крапки О и нескінченно вилученої крапки й, крім того, крапки О, А, У не лежать на одному промені з початком у крапці О). Тоді трикутники ОАВ і Оаґвґ подібні й LОАВ= Lовґаґ, LОВА= Lоаґвґ.

Доказ: У трикутників ОАВ і ОАґВґ (мал.3) є загальний кут, а сторони, що містять цей кут, пропорційні. Дійсно, тому щоОА ОАґ = ОВ ОВґ = r2, те

=

Звідси треба, що трикутники ОАВ і Оаґвґ подібні

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал 3.

Але тому що проти пропорційних сторін у подібних трикутниках лежать рівні кути, то зі співвідношення

=

треба рівність відповідних кутів

LОАВ= LОВґАґ, LОВА= LОАґВґ.

Лема доведена.

Теорема 1. Інверсія ц переводить будь-яку пряму, що проходить через центр інверсії, саму на себе, тобто пряма, що проходить через центр інверсії, є інваріантна фігура.

Доказ цієї теореми безпосередньо випливає з визначення інверсії.

Теорема 2. Інверсія ц перетворить пряму, що не проходить через центр інверсії О, в коло, що проходить через крапку О.

Доказ: Нехай l - пряма, що не проходить через центр інверсії - крапку О. Опустимо із крапки Об перпендикуляр на пряму l , і нехай він перетинає l у крапці М (мал 4). Нехай Мґ образ крапки М щодо інверсії ц. Крапка Мґ, мабуть, лежить на промені ОМ. На прямій l розглянемо довільну крапку X, відмінну від нескінченно вилученої крапки О ?. Нехай Xґ - образ Х щодо інверсії ц. Тоді по лемі 1 маємо LОXґМґ = LОМХ = . Тому крапка Xґ лежить на кола К, побудованої на відрізку Омґ як на діаметрі. Тому що крапка Х узята на прямій l довільно, те образ прямій l при інверсії ц являє собою сукупність крапок l?, розташовану на кола К.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 4

Доведемо тепер, що множина крапок l? збігається з окружністю К. насамперед відзначимо, що крапка Про належить множині l?. Це випливає з того, що пряма l проходить через нескінченно вилучену крапку О ?, а цю крапку інверсія ц переводить у крапку О. Нехай тепер Y - довільна крапка кола К. Промінь ОY перетинає пряму l у деякій крапці Z. Тому що крапки Y і Z лежать на одному промені ОZ, те нам потрібно лише перевірити, що виконується співвідношення

ОY =

По побудові трикутники ОYМґ і ОМ (мал 4) подібні. Тому

=

Звідси

ОY = =

Отже, доведено, що крапка Y є образ крапки Z при інверсії ц.

Теорема доведена.

Побудова, проведена в доказі теореми 2, дає спосіб побудови образа заданій прямій щодо інверсії ц за допомогою циркуля й лінійки. Із центра інверсії - крапки О - опускаємо перпендикуляр ОМ (мал 4) на пряму l. Будуємо крапку Мґ, що є образом крапки М (при цьому доводиться будувати відрізок довжиною, рівної r2/ОМ). Образ прямій l щодо інверсії - коло lґ - будується на відрізку Омґ як на діаметрі.

Теорема 3. Інверсія ц перетворить коло, що проходить через центр інверсії О, у пряму, що не проходить через крапку О.

Доказ цієї теореми випливає з доказу теореми 2.

Теорема 4. Інверсія ц перетворить коло, що не проходить через центр інверсії О, у деяку коло, що також не проходить через центр інверсії.

Доказ: нехай К - коло, що не проходить через центр інверсії О. Через крапку Про проведемо пряму g так, щоб вона перетинала коло До по діаметрі АВ (мал 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал 5.

Нехай Аґ і Вґ - образи крапок А и В щодо інверсії ц, Х - довільна крапка кола К и Хґ - її образ.

По лемі 1 трикутники ОХА й Охґаґ подібні й тому Lоаґхґ = LОХА; аналогічно трикутники ОХВ і Охґвґ подібні й, отже, Lовґхґ = LОХВ.

Тому що

LАґХґВґ = LОВґХґ - LОАґХґ = LОХВ - LОХА = LАХВ =

те звідси випливає, що відрізок АґВґ із крапки Хґ видний під кутом і, стало бути, крапка Хґ лежить на кола S, побудованої на відрізку АґВґ як на діаметрі. Оскільки крапка Х на кола До була обрана довільно, те Кґ - образ кола До при інверсії ц - розташований на кола S. Нехай Y - довільна крапка кола S і Z - крапка на промені ОY така, що

ОZ =

Очевидно, що крапка Z переводиться інверсією ц у крапку Y. Далі, зі співвідношень

ОА ОАґ = r2

ОВ ОВґ = r2

ОZ OY = r2

і леми 1 випливає, що

LAZB = LOZB - LOZA = LOB?Y - LOA?Y =LA?YB? =

Отже, що крапка Z лежить на кола К. звідси випливає, що фігури S і Кґ збігаються. Тому що по побудові кінці діаметра кола К - крапки А, В - відмінні від крапки О, те коло Кґ не проходить через крапку О.

Побудови , наведені вище, дають можливість будувати образ окружностей при інверсії за допомогою циркуля й лінійки. Розглянемо це питання більш докладно.

а) Коло не проходить через центр інверсії. У цьому випадку проводимо із крапки Об промінь, що перетинає коло До по діаметрі АВ, для крапок А и В будуємо їхні образи Аґ і Вґ. коло Кґ - образ кола До відносно інверсії ц - є коло, побудована на відрізку Аґвґ як на діаметрі (мал. 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 6

б) Коло До проходить через центр інверсії. У цьому випадку відповідно до теореми 3 образ До є пряма Кґ. із крапки Про проводимо промінь ОА (мал 7), що перетинає До по діаметрі ОА. Для крапки А будуємо її образ - крапку Аґ. Пряма, що проходить через крапку Аґ перпендикулярно лучу ОА, і є шукана пряма Кґ

Побудова прямій Кґ значно спрощується у двох випадках:

якщо коло До перетинає коло інверсії у двох крапках У и С, то пряма Кґ збігається із прямій ВР (мал. 8);

якщо К стосується кола інверсії, то Кґ є дотична до кола інверсії в крапці торкання К с окружністю інверсії (мал. 9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 7

Мал. 8

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 9

Розглянемо тепер питання про характер зміни кутів між кривими під дією інверсії ц. Як відомо, кутом між кривими L1 і L2 у крапці їхнього перетинання називається найменший з вертикальних кутів між дотичними до цих кривих у розглянутій крапці. Можна довести, що при інверсії кути між кривими зберігаються. Нижче ця пропозиція доводиться для окружностей і прямих.

Теорема 5. При інверсії ц кут між прямими дорівнює куту між їхніми образами.

Доказ. Тут можуть представитися 3 випадки:

прямі l1 і l2 проходять через центр інверсії ц;

одна із прямих l1 і l2 проходить через центр інверсії;

ні l1 і l2 не проходять через центр інверсії.

У першому випадку твердження теореми очевидно. Розглянемо випадки 2) і 3). У випадку 2) (мал. 10) будемо вважати для визначеності, що пряма l1 проходить через центр інверсії - крапку О. Тоді інверсія ц переводить пряму l1 саму в себе, тобто образ прямій l1 збігається із цієї прямої. Пряма l2 не проходить через центр інверсії й тому переводиться інверсією в деяку коло lґ2, що проходить через крапку О. Дотична t до кола lґ2 у крапці Про паралельно прямій l2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 10

Щодо взаємного розташування прямих l1 і l2 можуть представитися 2 можливості:

а) прямі l1 і l2 паралельні;

б) l1 і l2 перетинаються в деякій точці А.

Якщо l1 і l2 паралельні, то кут між ними, мабуть, дорівнює 0. Але пряма l1 проходить через крапку О и паралельна l2 . Тому вона необхідно буде збігатися з дотичній t до кола lґ2 у крапці О. Звідси треба, що кут між lґ1 і lґ2 дорівнює 0 і, отже, твердження теореми у випадку а) доведена.

Нехай тепер l1 і l2 не паралельні й А - крапка їхнього перетинання. Позначимо через б найменший з вертикальних кутів між l1 = lґ1 і прямій l2 або, що те ж, прямій t. Крапка А при інверсії переходить у деяку крапку Аґ, у якій пряма lґ1 перетинається з окружністю lґ2. Але пряма lґ1 або, що те ж, пряма Оаґ становить із дотичній tґ у крапці Аґ до кола lґ2 такі ж вертикальні кути, що й з дотичній t. Звідси негайно треба, що кут між l1 і l2 у крапці Аґ дорівнює б.. випадок 2) повністю доведений.

Мал. 11

Третій випадок (мал. 11) доводиться аналогічними міркуваннями. Помітимо тільки, що якщо прямі l1 і l2 паралельні, те відповідні кола lґ1 і lґ2 мають у крапці Об загальну дотичну й становлять між собою нульовий кут. Звідси кут між lґ1 і lґ2 дорівнює куту між l1 і l2. Якщо ж прямі l1 і l2 перетинаються, то, як видно з мал. 11, кут між окружностями lґ1 і lґ2 у крапці Про дорівнює куту між прямими l1 і l2, тому що дотичні t1 і t2 до цих окружностей у крапці Про паралельні прямим l1 і l2. Звідси й випливає твердження теореми.

Розглянемо ще дві теореми без доказу.

Теорема 6. Кут між окружностями дорівнює куту між образами цих окружностей щодо інверсії.

Теорема 7. Кут між окружністю й прямою дорівнює куту між образами цих фігур щодо інверсії.