1.3 Лема про антипаралельні прямі

Спочатку розглянемо допоміжне поняття.

Нехай деяка пряма a перетинає обидві сторони деякого кута (k, l) (мал. 12). У перетинанні з який-небудь зі сторін кута, наприклад k, ця пряма утворить чотири кути, з яких тільки один лежить усередині трикутника, що відтинається прямій від кута (k, l).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 12

Надалі, коли мова буде йти про кут між прямою й стороною кута, ми будемо мати на увазі саме цей кут.

Нехай тепер дві прямі (мал. 13) перетинають сторони кута, причому одна з них утворить із однієї зі сторін кута такий же кут, який друга пряма утворить із іншою стороною кута (на мал. 13) L1 = L2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 13

Легко зрозуміти, що коли й перша пряма утворить із другою стороною кута такий же кут, який утворить друга пряма з першою стороною кута L3 = L4.

Визначення. Дві прямі, що перетинають сторони деякого кута, називаються антипаралельними щодо цього кута, якщо одна з них утворить із однієї з його сторін такий же кут, який утворить інша пряма з іншою його стороною.

Антипаралельними є прямі a і b на малюнку 13, прямі с и d на малюнку 14, де з + k і d + l.

Антипаралельні прямі, загалом кажучи, не паралельні. Виключення становить тільки випадок, коли обидві прямі перпендикулярні до бісектриси даного кута (мал. 15).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 14

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 15

Теорема (лема про антипаралельні прямі). Пряма, що зєднує дві крапки площини, і пряма, що зєднує дві інверсні їм крапки, антипаралельні щодо кута з вершиною в центрі інверсії й сторонами, що проходять через дані крапки.

Доказ. Нехай щ (О, R) базисна коло, крапки Аґ і Вґ (мал. 16) інверсні відповідно крапкам А и В. Тоді

ОА ОАґ = ОВ ОВґ = R2, так що =

Крім того, у трикутниках АОВ і Вґоаґ кут Об загальний. Отже, ?АОВ подібний ? Вґоаґ і, виходить, LОВА = LОА?В?.

Таким чином, прямі АВ і А?В? антипаралельні щодо кута АОВ, що й було потрібно довести.

Якщо (мал. 16) яким-небудь образом побудовані дві відповідні в інверсії крапки А и А?, те доведена лема дає простий прийом побудови образа довільної крапки В (не лежачої на прямій ОА): зєднати В с А й провести пряму А?В? так, щоб LОА?В? = LОВА.

Мал. 16