1.8 Інверсія й осьова симетрія

Можна встановити далеко, що йде аналогію, у властивостях інверсії й осьової симетрії. Для цього нагадаємо деякі властивості інверсії.

Інверсія зберігає кут припинення двох ліній, міняючи при цьому його орієнтацію.

Пряма, ортогональна базисної кола, перетвориться в себе.

Базисна коло перетвориться в себе.

Усяка коло, ортогональна базисної, перетвориться в себе.

Усяка коло або пряма перетвориться в коло або пряму.

Дві крапки тоді й тільки тоді інверсні щодо деякої базисної кола, якщо вони є вершинами пучка окружностей, ортогональних до базисного.

Якщо в цих пропозиціях слово «інверсія» замінити словами «осьова симетрія», вираження «базисна коло» - через «вісь симетрії» і «інверсні крапки» - через «симетричні крапки», то одержимо властивості осьової симетрії.

Покажемо, що у відомому змісті осьову симетрію можна розглядати як граничний випадок інверсії. Нехай базисна коло інверсії щ (О, r) проходить через крапку А (мал. 28), так що ОА = r. Позначимо через а дотичну до кола щ у крапці А.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 28

Нехай, справі, Р - деяка дана крапка, Рґ - інверсна їй крапка щодо кола щ. Уявимо собі, що центр інверсії необмежено віддаляється від крапки А уздовж променя Ао, так що радіус інверсії ОА необмежено зростає.

У відомому змісті можна говорити, що при цьому коло щ (О, r) необмежено наближається до прямій а, «вироджується» у цю пряму. Виявляється, що при цьому крапка Рґ буде переміщатися по площині, необмежено наближаючись до крапки Р1, симетричної із крапкою Р відносно прямій А. Доведемо це.

Для визначеності покладемо, що крапка Р и крапка Про лежать по різні сторони від прямій а (мал. 28). Опустимо із крапки Р перпендикуляр РN на пряму а й перпендикуляр РL на пряму ОА. Нехай РN = р, РL = m. Із крапки Рґ, інверсній крапці Р щодо кола щ (О, r), також опустимо перпендикуляри Рґ і Рґк на прямі а й ОА. Нам потрібно показати, що Рґ> р і Рґк> m, якщо r > ?. Дійсно,

Рґ = КА = r - ОРґ Cosб = r - Cosб = r - =

= r - = . Але

tgб = , і тому

Sin2б = = = = .

Отже, Pґ = = .

Звідси видно, що Рґ > р, коли r > ?. З іншого боку, РґК = = ОРґ Sinб = = =

Звідси ясно, що Рґк> m, коли r> ?.

Викладені тут зображення показують, що доцільно розширити поняття про інверсію так, щоб можна було розглядати осьову симетрію як спеціальний випадок інверсії. Для цього вмовимося називати «окружністю в широкому змісті слова» будь-яку коло і будь-яку пряму. Тоді можна обоє перетворення - інверсію й симетрію відносно прямій - обєднати в одне поняття за допомогою наступного визначення. Крапка Рґ називається зворотній крапці Р (або сполученій крапці Р) щодо кола (у широкому змісті) щ, якщо крапки Р и Рґ є вершинами пучка окружностей ортогональних до щ. Таке перетворення, при якому кожній крапці Р зіставляється сполучена їй крапка Рґ щодо кола (у широкому змісті) щ, назвемо відбиттям від кола щ. У тому випадку, коли щ є окружністю у вузькому (звичайному) змісті, наше перетворення представляє інверсію відносно щ. Якщо ж щ - пряма, то розглянуте перетворення є симетрією щодо цієї прямої.