Метод інверсії

дипломная работа

2.1 Рішення задач на побудову методом інверсії

Сутність методу інверсії полягає в наступному.

Поряд з даними й шуканими фігурами розглядаємо фігури, інверсні їм або їхнім частинам. Іноді цього виявляється вже досить для знаходження таких звязків між шуканими й даними, які потрібні для рішення задачі. У більшості випадків рішення задачі зводиться до побудови фігури, інверсної шуканої, у припущенні, що вже побудовано фігуру, інверсна даної. Ця остання задача, при вдалому виборі базисної кола, може виявитися простіше даної задачі. Побудувавши фігуру, інверсну шуканої, потім будують шукану фігуру. Метод інверсії дає можливість вирішити ряд найбільш важких конструктивних задач елементарної геометрії.

Недоліком цього методу є його громіздкість, повязана з необхідністю виконати велика кількість побудов.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Через дві дані крапки А и В провести коло, ортогональну даної кола щ (О,r) (мал. 33).

Аналіз. Якщо приймемо коло щ за базисну коло, то при інверсії шукана коло г перетвориться в себе, а крапки А и В перейдуть у крапки Аґ і Вґ на цій кола. Але коло г цілком визначається, якщо відомі три крапки на ній, наприклад А, У и Аґ. Звідси випливає побудова.

Побудова.

Будуємо крапку Аґ, інверсну крапці А щодо кола щ.

Будуємо коло г, що проходить через крапки А, У и Аґ. Г - шукана коло.

Доказ. Доказ випливає з аналізу й побудови.

Мал. 33

Дослідження. Якщо крапка А лежить на кола щ, то крапка Аґ збігається із крапкою А и зазначений шлях рішення непридатний. У цьому випадку потрібно провести аналогічну побудову щодо крапки В. якщо обидві крапки А и В лежать на кола щ, та побудова можна виконати так: через А и В проводимо дотичні до кола щ і відзначаємо крапку їхнього перетинання О1. ОБ1 - центр шуканої кола.

Ці побудови непридатні, якщо крапки А, У и О розташовані на одній прямій. Якщо при цьому крапки А и В не інверсні, то задача не має рішення. Якщо ж крапки А и В інверсні щодо кола щ, то задача має нескінченну множину рішень: будь-яка коло, що проходить через крапки А и В, ортогональна кола щ.

Приклад 2. Дані: крапка О и дві не минаючі через неї прямі a і b. Провести через крапку Об такий промінь, щоб добуток його відрізків від крапки Про до крапок перетинання з даними прямими було дорівнює квадрату даного відрізка.

Аналіз. Нехай О - дана крапка, а й b - дані прямі, ОАВ - шуканий промінь, так що ОА ОВ = r2, де r - даний відрізок (мал. 34).

інверсія кут крапка коло площина

Мал. 34

Інверсія щодо кола щ (О, r) переведе крапку А в крапку В, а пряму а - у деяку коло аґ, що проходить через крапку В. таким чином, В ? аґ*b.

Побудова. Будуємо послідовно:

Коло щ (О, r);

Образ аґ прямій а в інверсії відносно щ;

Крапку В ? аґ*b;

Промінь ОВ, що і задовольняє умові задачі.

Доказ. Нехай А ? ОВ а. Тоді А - прообраз крапки В у інверсії відносно щ (О, r), тому що пряма а - прообраз кола аґ. Отже, по визначенню інверсії, ОА ОВ = r2.

Дослідження. Можливі наступні випадки:

коло аґ перетинає пряму b; два рішення;

коло аґ стосується прямій b; одне рішення;

коло аґ не має загальних крапок із прямій b; рішень немає.

Тому що шукана крапка В обовязково крапці А в інверсії відносно щ (О, r), те крапка В повинна бути загальною крапкою прямій b і кола аґ. Звідси треба, що інших рішень, крім знайдених, задача не може мати.

Приклад 3. Побудувати коло, дотичну до даної кола г і минаючу через дві дані крапки А и В поза даною окружністю.

Аналіз. Нехай б (мал. 35) - шукана коло. Бажано перетворити фігуру так, щоб коло б (або коло г) перетворилася в пряму.

Мал. 35

Із цією метою приймемо крапку В за центр інверсії, а відрізок ВА - за радіус інверсії. Тоді коло г перетвориться в деяку коло гґ, крапка А перетвориться в себе, шукана коло б - у пряму бґ. Пряма бґ повинна пройти через крапку А, а також стосуватися кола гґ, тому що коло б стосується кола г (мал. 36). Таким чином, задача зводиться до побудови дотичної з побудованої крапки (Аґ) до побудованої кола (гґ).

Побудова. Будуємо послідовно:

Коло щ із центром у крапці В радіуса ВА;

Коло гґ, інверсну кола г щодо кола щ;

Пряму бґ, що проходить через крапку А и дотичної кола гґ;

Коло б, інверсну прямій бґ щодо кола щ. Коло б шукана.

Мал. 36

Доказ. Пряма бґ стосується кола гґ, тому відповідна їй коло б стосується відповідної кола м. Пряма бґ проходить через крапку А, і тому коло б проходить через ту ж крапку; у всіх випадках, коли пряма бґ не проходить через центр інверсії, тобто через крапку В.

Дослідження. Із чотирьох кроків побудови кроки 1) і 2) завжди здійсненні, притім однозначно. Розглянемо побудову 3).

Проведення дотичної до кола гґ через крапку А залежить від розташування крапки А щодо кола гґ. Можна допустити три припущення: а) крапка А на кола гґ; б) крапка А усередині кола гґ; в) крапка А поза окружністю гґ.

Випадок а) неможливий, тому що з Аґ Є гґ варто було б А Є г, що суперечить умові задачі.

Доведемо, що випадок б) також неможливий. Застосуємо для цього доказ «від противного». Допустимо, що крапка А розташовується усередині кола гґ (мал. 37). Тому що крапка В, за умовою, поза г, те В також поза гґ (цее треба зі способу побудови кола гґ). Тому промінь Ваґ зустріне коло гґ у двох крапках, причому одна з них усередині кола щ, а інша поза нею. Позначимо внутрішню крапку перетинання через Рґ, а зовнішню - через Qґ. При інверсії крапки Рґ, Qґ і Аґ перетворяться в крапки Р, Q і А, причому Q усередині щ, Р поза щ, А на щ, так що А лежить між Р и Q. Коло гґ, що проходить через Рґ і Qґ, перейде в коло г, що проходить через Р и Q. І тому що крапка А належить хорді РQ кола г, те А усередині г, всупереч умові задачі.

Таким чином, можливий лише випадок в), тобто А поза гґ. Тому із крапки А завжди можна провести дві дотичні до кола гґ.

Перейдемо до четвертого кроку. При інверсії пряма бґ перетвориться в коло лише в тому випадку, коли ця пряма не проходить через центр інверсії. Якщо ж пряма бґ проходить через крапку В, то пряма ВА дотична до кола бґ. Але при інверсії пряма ВА перетвориться в себе, а коло гґ - в коло м. Отже, якщо пряма бґ проходить через крапку В, те коло г стосується прямій ВА (і навпаки). У цьому останньому випадку пряма бґ інвертується в пряму. Таким чином, приходимо до наступного висновку: при даному способі побудови ми одержуємо єдине рішення, якщо пряма АВ стосується кола г, і два рішення у всякому іншому випадку.

Мал. 37

Вирішуючи задачу яким-небудь іншим способом, ми не одержимо нових рішень. Справді, якби задача мала більше одного рішення у випадку, коли АВ стосується г, або більше двох рішень у будь-якому іншому випадку, те після інверсії щодо кола щ виявилося б, що через крапку Аґ (Аґ ? А) проходило б не менш трьох дотичних до кола гґ, що неможливо.

Помітимо, що дану задачу можна вирішити, приймаючи за центр інверсії крапку на даній кола м. При цьому задача зводиться до наступній: побудувати коло, що стосується даної прямої й проходить через дві дані крапки. Ця задача може бути вирішена без залучення методу інверсії.

Делись добром ;)