1.1 Система броунівських частинок зі склеюванням

У даному пункті буде побудовано систему процесів, яка описує еволюцію броунівських частинок, що стартували з цілих точок числової прямої, рухаються незалежно до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом.

Основним результатом даного пункту є наступна теорема.

Теорема 1. Існує система випадкових процесів , яка задовольняє наступні властивості

1) для довільного , ? вінерівський процес, що стартував з і має дифузію 1;

2) для довільних і ;

3) для довільних і

,

Де .

Причому умови 1) - 3) однозначно визначають розподіл у просторі .

Доведення. Дану систему процесів побудуємо конструктивно, використовуючи систему стандартних вінерівських процесів. Отже, нехай ? сукупність стандартних вінерівських процесів. Покладемо , .

Далі, для по індукції визначимо систему процесів , , наступним чином

частинка броунівська склеювання асимптотичний

Аналогічно визначимо систему процесів ,

.

Доведемо, що система задовольняє умови теореми.

Позначимо

Тоді для

Використовуючи (1) і співвідношення

,

,

Аналогічно і для

,

Далі з (1) та (2) маємо, що ,

Отже, задовольняє властивість 3) даної теореми.

Далі покажемо, що для довільного ? вінерівський процес. Не обмежуючи загальності вважаємо, що . Обчислимо характеристику

Використовуючи теорему про мартингальну характеризацію вінерівського процесу (див. теорема 2.6.1 [2]) маємо, що , , ? система вінерівських процесів.

Властивість 2) випливає з конструкції , .

Теорему доведено.

Зауваження 1. Відмітимо, що побудована система вінерівських процесів є зліченною підсистемою потоку Арратья, який був побудований в [1]