ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

Проективные многообразия определяются аналогично аффинным, разница лишь в том, что все понятия рассматриваются в проективном пространстве.

Введем проективное пространство над полем . Оно обозначается символом , где целое число (встречается и сокращенное обозначение ).

Пусть арифметическое мерное векторное пространство над полем . Рассмотрим множество . На этом множестве можно ввести отношение эквивалентности:

ненулевой скаляр , такой что

Множество классов этих эквивалентных наборов называется мерным проективным пространством. Иначе говоря, фактор множество множества по отношению эквивалентности, отождествляющему точки, лежащие на одной и той же прямой, проходящей через начало координат.

Большинство понятий определяются аналогично понятиям, связанным с аффинными многообразиям, поэтому их упоминать не будем, лишь добавим некоторые недостающие.

Кольцо называется градуированным, если оно обладает разложением в прямую сумму:

, где , а

аддитивные абелевы группы, такие что

,

где

Построение проективного пространства как фактор множества позволяет ввести на нем однородные координаты. Каждой точке ставится в соответствие набор, причем для всех считается, что .

Иначе говоря, имеют смысл не конкретные значения , а соотношения между ними.

Проективное пространство можно покрывать аффинными многообразиями. Построим такое покрытие.

Рассмотрим проективную плоскость с однородными координатами . Построим множество , определяемое такой формулой:

При этом координаты точек в задаются соотношениями :

Затем построим по аналогии подмножество : в котором Проведем замену

Аналогично, задается требованием и заменой

Таким образом, получаем

Очевидно,

.

Множество называется аффинной картой (в данной системе координат). Точки

при отвечают одной и той же точке , лежащей на пересечении , тогда и только тогда ,когда поставив единицу на тое в векторе и на тое место в векторе , мы получаем пропорциональные векторы. В частности,

,

точка отвечает точке , при .Точка из не лежит в , а точка из не лежит в .Естественно считать, что получается из добавлением точки с координатой .

Данная конструкция называется аффинным покрытием проективного пространства.

Теперь рассмотрим несколько примеров

Пример 2.2 Показать, что .

Для решения данной задачи необходимо привести определение размерности топологического пространства: пусть - топологическое пространство. Размерностью (обозначают ) называют точную верхнюю грань всех целых чисел n, таких, что существует цепочка

отличающихся друг от друга неприводимых замкнутых подмножеств . Размерности аффинного и проективного пространств определяются как размерность проективного пространства.

Как было оговорено в теоретической части работы, проективное пространство можно покрыть аффинными покрытиями, этим мы отождествим с . А для было доказано, что его размерность равна (1,гл.I,предложение 1.9).

Пример 2.3 Показать, что нётерово.

Выберем убывающую цепь замкнутых подмножеств:

образует цепь, обрывающуюся на конечном шаге. Предположим, что цепь

не обрывается,

то при , т.е.

Имеем цепь

в

Продолжая этот процесс, приходим к

точка

Ясно, что нётерово.

Таким образом, цепь обрывается на конечном шаге.

Пример 2.4 Пусть образ двукратного вложения в .Это есть так называемая поверхность Веронезе. Показать, что если замкнутая кривая, то существует гиперповерхность , такая что

.

.

пространство однородных многочленов от трех переменных степени два. Очевидно,

,

Образ вложения Веронезе задается уравнениями

, где

.

Также можно определить обратное отображение:

с помощью выражений однородных координат в .

Эти выражения справедливы для тех точек плоскости ,в которых . Аналогичные соотношения имеют место для и . Отображение Веронезе биективно на свой образ, то есть является вложением. Тогда применим к замкнутой кривой . Получим

.

Это гиперповерхность в . Пусть

- ее уравнение.

Возьмем Тогда

- гиперповерхность в

Аналогично, для

Наконец для

Очевидно, что

аффинный проективный нётеров топология