1.3 Общая формулировка методов Рунге-Кутты

Рунге и Хойн построили новые методы, включив в указанные формулы один или два добавочных шага по Эйлеру. Но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутты.

Пусть - целое положительное число (число стадий, этапов) и - вещественные коэффициенты. Тогда метод

 (2.3.1)

называется -стадийным явным методом Рунге-Кутты для исходной задачи Коши (2.1.1)

Обычно коэффициенты удовлетворяют условиям

. (2.3.2)

Эти условия были приняты Куттом без каких-либо комментариев. Смысл их заключается в том, что все точки, в которых вычисляется , являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации для методов высокого порядка. Однако для методов низких порядков эти предположения необходимыми не являются.

Метод Рунге-Кутты имеет порядок , если для достаточно гладких задач (2.1.1) справедливо неравенство

, (2.3.3)

то есть ряды Тейлора для точного решения и для совпадают до члена включительно.

После статьи Бутчера вошло в обычай символически представлять метод (2.3.1) по средствам следующей таблицы: