1.2. Формула аффинного преобразования

Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z образа данной точки M(z) через координату z этой точки М.

Известно, что аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы:

Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z=x+iy точки M(z) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z подставим вместо x и y их выражения из формул (1) : , раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части этого равенства, получим . Теперь произведём тождественное преобразование над коэффициентами при x и iy:

Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее:

. Введя обозначения , , и учитывая, что и , имеем выражение комплексной координаты z точки M через комплексную координату её образа z точки M: . Осталось найти определитель этого преобразования. После некоторых преобразований определитель примет вид: , откуда, воспользовавшись введёнными обозначениями коэффициентов аффинного преобразования, имеем: . Таким образом, формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах имеет вид: