1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если еґ - также единица в А, то

еґх = хеґ = х, для всех хА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = еґ, а в (1.2.) х = е, получим:

ееґ = еґе = еґ и еґе = ееґ =е, следовательно еґ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры Аґ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы хґ=бе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру Аґ, в которой основные операции определяются формулами:

в(бе + х) = вбе + вх, (б₁е + х₁) + (б₂е + х₂) = (б₁ + б₂)е + (х₁ + х₂),

(б₁ е + х₁)(б₂ е+ х₂ )=б₁ б₂ е +б₁ х₂ +б₂ х₁ + х₁ х₂ (1.3.)

Каждый элемент хґ из Аґ представляется единственным образом в виде

хґ = бе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому Аґ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм хґ = бе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при б = 0.

Алгебру Аґ можно также реализовать как совокупность всех пар (б, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

в (б, х) = (вб, вх), (б₁, х₁) + (б₂, х₂) = (б₁ + б₂, х₁ + х₂),

(б₁, х₁)(б₂, х₂) = (б₁б₂, б₁х₂ + б₂ х₁ + х₁х₂), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(б, х) = б(1, 0) + (0, х) = бе + х,

так что вторая реализация алгебры Аґ равносильна первой.

Переход от А к Аґ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х^-1 элемента х.