1.1 Методы Рунге - Кутты
Методы Рунге-Кутты - важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М.В. Куттой.
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.
Метод Рунге - Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге - Кутты.
Рассмотрим задачу Коши
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
где h - величина шага сетки по x
Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O (h4) (ошибка на каждом шаге порядка O (h5)).
- IV. Дифференциальные уравнения и численные методы их решения
- 2. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- Численные методы решения дифференциальных уравнений.
- Решение дифференциальных уравнений
- 7. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- 5.4. Методы решения дифференциальных уравнений
- Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
- Метод решения линейных дифференциальных уравнений
- Методы решения дифференциальных уравнений.