2.2 Свойства

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)ⁿ равна 2ⁿ.

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ.

2.Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойства следует из соотношения: C^k = C^n-k.

3.Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2^n-1.

Для доказательства воспользуемся биномом: (1 - 1)ⁿ = 0ⁿ = 0. здесь чётные члены имеют знак "+", а нечётные - "-". Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: 2ⁿ : 2 = 2^n-1, что и требовалось доказать.