Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

реферат

4.1 Постановка задачи

Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].

Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции в(t)f(t):

(10)

Где f(t) - искомая функция, а в(t) - неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,?) функция. Предположим, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L2(в(t), 0, ?):

(11)

Требуется по изображению F(р) функции в(t)f(t), построить функцию f(t).

В интеграле (10) введем замену переменной x=e-t; тогда он приведется к виду

(12)

где

В силу условий, которые наложены на функции f(t) и в(t), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re p?,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции

(13)

После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию по ее «взвешенным моментам» , или, что тоже самое, найти функцию f(t) по значениям изображения функции в(t)f(t) в целочисленных точках p = k (k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен , такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства

(14)

Делись добром ;)