1.1 Основні відомості про групу

Нехай маємо непорожню множину S. Бінарною алгебраїчною операцією на множині S називається відображення декартового добутку в S.

Нехай G - деяка непорожня множина, на якій задано бінарну алгебраїчну операцію. Позначимо цю операцію символом «*».

Означення 1. Непорожня множина G, на якій визначено бінарну алгебраїчну операцію *, називається групою, якщо виконуються такі умови:

операція * асоціативна, тобто, що для довільних елементів

а, в, с ;

в G існує нейтральний елемент е відносно бінарної алгебраїчної операції *, тобто, такий елемент е, що для довільного елемента а виконується рівність

;

для кожного елемента в множині G існує симетричний елемент відносно бінарної алгебраїчної операції *, тобто, такий елемент ,для якого виконується рівність

.

Умови 1 - 3 називаються аксіомами, що визначають групу, або аксіомами групи.

Зауважимо, що визначена в гpyпi G бінарна алгебраїчна операція * не обовязково повинна бути комутативною. Якщо ж вона комутативна, то група G називається комутативною, або абельовою, за імям норвезького математика Н.Абеля, який вивчав рівняння, теорія яких тісно повязана з тeopiєю комутативних груп.

Група G називається скінченною, якщо множина її елементів скінченна, і нескінченною, якщо множина її елементів нескінченна.

Число елементів скінченної групи G називають її порядком і позначають . Якщо G - нескінченна множина, то групу G називають групою нескінченного порядку.

В алгебрі бінарну операцію, визначену в множині, часто називають додаванням або множенням.

Якщо задану в гpyпi G бінарну операцію * називають множенням i користуються символікою, яка відповідає oперації множення, то говорять, що в групі G прийнято мультиплікативну форму запису, або коротше, мультиплікативний запис. Саму групу G називають мультиплікативною. Якщо ж операцію, задану в гpyпі G, називають додаванням i вживають символіку, що відповідає операції додавання, то говорять, що в гpyпі G прийнято адитивну форму запису, або адитивний запис, а саму групу називають адитивною.

Зауважимо, що множина непарних чисел не є групою відносно додавання, бо в ній не визначена операція додавання: додавання непарних чисел виводить за межі цієї множини. Не є групою відносно додавання i множина вcix додатних цілих чисел, оскільки в ній не існує нейтрального елемента відносно додавання.

Множина вcix цілих чисел не є групою відносно множення, оскільки в ній не для кожного елемента існує симетричний йому елемент відносно множення. Не є групою відносно множення i множина вcix раціональних чисел, оскільки в ній число нуль не має симетричного елемента.

Множина всіх цілих чисел є абельова група відносно додавання. Справді, в цій множині визначена операція додавання. Ця операція асоціативна і комутативна. Різниця двох цілих чисел є ціле число. Отже, в множині цілих чисел здійсненна обернена операція - віднімання. Цю групу називають адитивною групою цілих чисел.

Множина всіх раціональних чисел і множина всіх дійсних чисел - абельові групи відносно додавання.

У вcix наведених прикладах елементами групи є числа. Безумовно, є групи, елементами яких є обєкти іншої природи. Pізні приклади таких груп буде подано в наступних параграфах.

Для групи виконуються такі властивості:

1. У кожній гpyпi G можна виконувати лівосторонні та правосторонні скорочення, тобто з рівностей а* в= а * с, або * = * випливають рівності:

Доведення.

Доведемо, наприклад, першу рівність, що Відомо, що у групі існує симетричний до елемента а елемент , тому запишемо наступну рівність: За асоціативним законом матимемо: отже, із цієї рівності , що і потрібно було довести. Рівність доводиться аналогічно.

2. Нейтральний елемент в групі єдиний.

Доведення.

Припустимо, що - нейтральні елементи відносно бінарної алгебраїчної операції *. Тоді матимемо:

(дивимося на , як на нейтральний елемент),

(дивимося на , як на нейтральний елемент).

Але бінарна алгебраїчна операція включає вимогу однозначності результату, тобто - це єдиний елемент. Тому з системи слідує, що

3. У кожній групі для будь-якого її елемента a icнyє єдиний симетричний йому елемент а.

Доведення.

Нехай до а існують симетричні елементи та , тоді виконується така рівність , де - нейтральний елемент. Будемо мати: . Одержимо, що . (1)

4. В групі G має розвязок кожне рівняння виду та .

В неабелевій групі ці розвязки взагалі кажучи різні.

Доведення.

Розглянемо рівняння . В групі існує симетричний елемент . Тоді . Звідси одержимо , . Але , тому одержимо . існує, бо операція * здійсненна для будь-яких елементів множини , в тому числі і для і . Також - єдиний, бо результат виконання за означенням бінарної алгебраїчної операції теж єдиний. Аналогічно показуємо, що має розвязок рівняння , і він також єдиний.

Зауважимо, що з цієї властивості випливає, що у групі завжди здійсненна операція, яка є оберненою до групової операції *: адже за допомогою цієї оберненої операції шукають розвязок рівнянь та.

Нехай G - довільна група i H - деяка непорожня підмножина цієї групи.

Означення. Непорожню підмножину Н групи G називають. підгрупою цієї групи (записують ), якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в гpyni G.

Теорема 1(критерій підгрупи). Для того щоб непорожня підмножина Н групи G була підгрупою цієї групи, необхідно і достатньо, щоб підмножина Н: 1) разом з будь-якими своїми елементами a i в містила й їx композицію а * ; 2) разом з будь-яким своїм елементом а містила i симетричний до нього елемент - а.

Доведення.

Необхідністъ очевидна. Адже якщо Н - група відносно бінарної операції, визначеної на G , то разом з будь-якими своїми елементами a i в вона містить також композицію елементів а та а.

Достатність. За першою умовою теореми, підмножина Н замкнена відносно операції *. Отже, на Н - визначена бінарна алгебраїчна операція *. Ця операція асоціативна, оскільки асоціативна групова операція на G, а

За умовою підмножина Н - непорожня, тобто вона містить, принаймні, один елемент а. Тому, за умовами 2 і 1 теореми, Н містить також елементи і - нейтральний елемент. Отже, підмножина Н є групою відносно операції, визначеної на G, тобто є підгрупою групи G. Теорема доведена. епіморфізм група гомоморфізм кільце

Групи можуть мати підгрупи, лівосторонні і правосторонні розклади за якими істотно відрізняються, а також і підгрупи, за якими ці розклади збігаються. Ці розклади відіграють важливу роль у теорії груп.

Нехай <G,*> - група, . Введемо поняття композиції підмножини А та В так: .

Наприклад, якщо розглянути векторний простір V над полем Р, а в ролі А та В взяти підпростори простору V, то оскільки <V,+> - абелева група, А+В - це відоме нам поняття суми підпросторів векторного простору. В мультиплікативній термінології будемо говорити про добуток А та В. Одна з цих підмножин може складатися лише з одного елемента. Наприклад, якщо , то у мультиплікативній групі G добуток , а добуток .

Розглянемо тепер для означеності - мультиплікативну групу, Н - підгрупа групи G. Нехай - довільний елемент з G, зафіксуємо його. Розглянемо добуток gH та Hg і назвемо ці добутки відповідно лівим і правим суміжним класом елемента g за підгрупою Н. Якщо група G - скінченна, то множина gH та Hg складається з різних елементів і їх буде стільки само, як у підгрупі Н. Ліві і праві суміжні класи елемента можуть співпадати, або не співпадати (наприклад, в абелевих групах завжди співпадають, а в неабелевих групах можуть і не співпадати).

Розглянемо властивості суміжних класів:

1. для випливає, що хН=Нх=Н;

2. для цей елемент належить до деякого лівого та правого суміжного класу, а саме ;

3. якщо елемент , то звідси випливає, що На=Нв.

4. для можливі лише два випадки: Ш або На=Нв (для лівих суміжних класів так само).

Ці властивості говорять про те, що всі праві (ліві) суміжні класи, що є різними, попарно не перетинаються.

Розглянемо тепер добуток підгрупи Н на всі елементи групи, при цьому утворюються праві (ліві) суміжні класи. І вони мають такі властивості:

1. їх обєднання дає всю групу G;

2. вони попарно не перетинаються.

Це означає що множина всіх різних правих суміжних класів за підгрупою Н утворює розбиття групи G. Аналогічне твердження справедливе і для лівих суміжних класів.

Означення. Запис групи G у вигляді обєднання правих (лівих) суміжних класів називається правостороннім (лівостороннім) розкладом групи G за підгрупою Н.

Означення. Підгрупа Н групи G називається нормальною підгрупою, або нормальним дільником цієї групи, якщо для будь-якого елемента виконується

(2)

Ця умова означає, що для будь-якого і елемента h із Н можна знайти в Н такі елементи і , що

і . (3)

Зрозуміло, що умова рівносильна умові . Якщо підгрупа Н групи G нормальна в G, то записують .

Елементи а і в групи G називаються спряженими у групі G, якщо в G існує, принаймні, один такий елемент , що

Теорема 2. Підгрупа Н групи G є нормальною в G тоді і тільки тоді, коли вона разом з кожним своїм елементом h містить і всі елементи, спряжені з ним у групі G.

Доведення.

Необхідність. Нехай Н - нормальна підгрупа групи G. Тоді, за умовою і . Але для кожного і будь-якого існує в Н такий елемент , що . Звідси . Отже, кожний елемент, спряжений у G з елементом , міститься в Н.

Достатність. Припустимо, що якщо то і , де - будь-який елемент з G. Тоді для кожного елемента і будь-якого : і , тобто і , і, отже, підгрупа Н нормальна в G.

Теорема 3. Перетин будь-якої множини нормальних підгруп групи G є нормальною підгрупою цієї групи.

Нехай Н - довільна нормальна підгрупа групи G. Оскільки кожний лівий суміжний клас gH групи G за нормальною підгрупою Н є одночасно і правим суміжним класом Hg, і навпаки, то далі говоритимемо просто про суміжні класи групи G за підгрупою Н. Суміжний клас gH, що визначається елементом g, позначатимемо . Виходячи з поняття добутку підмножин групи, означимо в множині суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н операцію множення.

Нехай і - два довільні суміжні класи групи G за нормальним дільником Н. Розглянемо добуток цих суміжних класів як підмножин групи G. Оскільки множення підмножин асоціативне і , то

,

Тобто (4)

Отже, добуток двох суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н, як підмножин групи G, - це суміжний клас за Н. Цим у множині суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н визначено операцію множення.

Рівність (4) показує, що для відшукання добутку двох даних суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н слід у кожному з цих класів вибирати по одному представнику і потім взяти той суміжний клас, до якого належить добуток вибраних представників.

Теорема 4. Множина суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н з визначеною в ній операцією множення є групою. Вона називається фактор-групою групи G за нормальною підгрупою Н і позначається символом G/Н.

Доведення. Справді, операція множення суміжних класів асоціативна. Це випливає з асоціативності множення підмножин групи. Суміжний клас відіграє роль одиничного елемента: для будь-якого суміжного класу справджується рівності

і

. Тобто .

Для кожного елемента існує обернений елемент . Так само . Теорема доведена.

Наведемо деякі найпростіші властивості фактор-групи.

Теорема 5. Кожна фактор-група абелевої групи G також абелева.

Доведення. Справді, оскільки для будь-яких елементів а і в групи G справджується рівність ав=ва, то для будь-яких елементів і фактор-групи G/Н маємо , тобто . Теорема доведена.

Відомо, що перестановкою п-го степеня називається будь-який запис множини перших п натуральних чисел: . Перестановки записані у круглих дужках (через кому записують елементи). Наприклад, для . Всього їх існує п! Кількість інверсій у перестановці визначає парність або непарність цієї перестановки.

Наприклад, для перестановки (3,5,1,4,2);…. кількість інверсій дорівнює 2+3+0+1+0=6. Отже, ця перестановка парна.

Підстановкою п-го степеня називається будь-яке відображення множини на себе . Підстановки записують у вигляді двох рядочків перестановок так, щоб у другому рядочку стояли записані елементи, що відповідають елементам у першому рядку, саме, під ними.

Наприклад, означає, що . Цю ж підстановку можна записати і по-іншому, але треба дотримуватися, щоб відповідний елемент стояв під своїм прообразом. Наприклад: ==….

Існує ще також циклічний запис підстановок, цикли записують у круглих дужках і означають відображення елементів у сусідній елемент, при цьому останній відобразиться в перший елемент. Наприклад: (143)(25)=.

Парність підстановки визначається сумарною кількістю інверсій у верхній і нижній перестановці. Якщо така сума парна, то і підстановка парна.

Від різного порядку запису підстановки парність її зберігається, тому що сумарна кількість транспозицій при цьому буде парною, що не міняє парності підстановки (якщо у верхньому рядку буде виконано, наприклад k транспозицій, то вони тягнуть за собою рівно k транспозицій і в нижньому рядку, сумарно буде рівно 2k транспозицій).

Підстановки n-го степеня відіграють важливу роль при вивченні скінченних груп, адже елементи скінченної групи можна перенумерувати і отже, таким чином їм можна поставити у відповідність підстановку n-го степеня, а при виконанні різних операцій над елементами групи ці елементи стануть записані в іншому порядку, тобто, цьому порядку вже відповідатиме інша підстановка індексів цих елементів. Значить, досліджуючи властивості підстановок n-го степеня, ми зможемо дослідити абстрактні скінченні групи.

Випишемо, наприклад, множину всіх підстановок 2-го степеня:

. Це вже і всі підстановки.

В цьому випадку будемо розуміти як результат послідовного виконання цих відображень і це дорівнюватиме: .

Бачимо, що в цілому множина, яка позначається , всіх підстановок n-го степеня, утворює групу відносно операції множення підстановок, яку розмістимо як результат послідовного виконання цих підстановок.

Легко перевіряється, що для будь-яких двох підстановок n-го степеня існує їх добуток і він є теж підстановка n-го степеня. Отже, операція множення підстановок на множині є алгебраїчною. Асоціативність цієї операції очевидна. Нейтральним елементом виступає тотожна підстановка, яка задається рівністю: . Симетричний елемент до буде така підстановка: , бо . Отже, цим ми довели, що є мультиплікативною групою. Порядок цієї групи дорівнює п! (бо один із рядків можна впорядкувати, наприклад, в порядку зростання - 1, 2, …, п і тоді кількість всіх можливих підстановок залежить від того, скількома способами можна переставити елементи у другому рядочку, а таких способів, як ми вже відзначили, існує п!). Цим ми довели, що - група (її називають симетричною групою n-го степеня).