Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х - множество произвольной природы и - семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из принадлежит ,

2) объединение любого множества множеств из принадлежит ,

3) и .

Тогда называется топологическим пространством, - топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть - топологическое пространство и . Введем на множестве Х₁ топологию ₁. Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U - произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология ₁ - топологией, индуцированной топологией на множество Х₁.

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии , если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R⁺ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например,  R⁺ (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х₁ называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х₁.

Очевидно, Х₁ плотно в Х, если каждая точка подпространства Х₁ является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и .

Определение 8. Множество Х₁ в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, - нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .

Определение 11. Элемент bS называется делителем элемента аS, если для некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит (|).

Определение 12. Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД.

Определение 13. Элемент S называется кратным элементу S, если a делится на b.

Определение 14. Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК.

Определение 15. Полугруппа S называется НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16. Элемент из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .

Определение 17. Элемент из S называется простым, если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

1) S, - полугруппа;

2) S - топологическое пространство;

3) полугрупповая операция непрерывна в S:

.