Насыщенные формации заданной структурой подформаций

дипломная работа

Понятие -дефекта

Определение.Для любых двух -насыщенных формаций и , где , через обозначают длину решетки -насыщенных формаций, заключенных между и .

Определение.Пусть и - произвольные -насыщенные формации. Тогда, если решетка имеет конечную длину , то говорят, что -дефект формации конечен и равен . Если же длина этой решетки бесконечна, то говорят, что -дефект формации - бесконечен и пишут .

Определение.Пусть и -насыщенные формации. Формация называется максимальной -насыщенной подформацией формации , если , и в не существует такой -насыщенной подформации , что .

Пример. Пусть -насыщенная формация не имеет максимальных -насыщенной подформаций. Тогда для любой -насыщенная подформации , не содержащей , -дефект формации бесконечен.

Лемма. Пусть и - -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство. Поскольку в силу модулярности решетки -насыщенных формаций имеет место решеточный изоморфизм

и в модулярной решетке длина любой ее подрешетки не превосходит длину самой решетки, то . Лемма доказана.

Лемма. Пусть и - -насыщенные формаций, причем . Тогда если , и - соответственно -дефекты формаций и и , то .

Лемма. Пусть и - -насыщенные формации, причем . Тогда в том и только в том случае имеет конечный -дефект , когда в имеется максимальная -насыщенная подформация с и в нет ни одной максимальной -насыщенной подформации с

Доказательство. Достаточность. Предположим, что . Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм, и, согласно условию, , получаем . Значит, если - такая максимальная подформация в , что , то . Противоречие. Значит, . Поэтому . Следовательно, .

Необходимость. Если - такая максимальная подформация формации , что , то очевидно, . Предположим, что в имеется максимальная подформация такая, что

Тогда . Следовательно,

Поэтому, согласно лемме ,

Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Насыщенные формации с -нильпотентным дефектом 1.

Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не -формации (или иначе -критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не -формаций была отмечена Л.А. Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп . Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.

Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не -формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.

Пусть - холловская -подгруппа группы . Группу называют -нильпотентной, если нормальная подгруппа в группе .

Группу называют -нильпотентной, если она -нильпотентна для любого .

Обозначим через - формацию всех -нильпотентных групп.

Определение.Пусть - некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации называют -нильпотентным дефектом.

Определение.-Насыщенная формация называется минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, если , но все собственные -насыщенные подформации из содержатся в .

Лемма. Пусть - формация классического типа, - непустая -насыщенная формация. Тогда если , то в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -подформация.

Следствием леммы является следующая

Лемма. Пусть - произвольная -насыщенная не -нильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация.

Лемма. Тогда и только тогда является минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, когда , где - такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо и P - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий:

1) группа неабелева, причем, если , то - -группа, если же , то - простая неабелева группа;

2) , где - -группа, а такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , , - -группа, и либо , либо - группа порядка q, где .

Лемма. Пусть - произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда, если - монолитическая группа из , то .

Лемма. В любой модулярной решетке если и оба элемента и покрывают , то покрывает и , и ; двойственно, если и покрывает оба элемента и , то и оба покрывают .

Теорема. Пусть - формация всех -нильпотентных групп, и пусть - некоторая -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где - -насыщенная -нильпотентная подформация формации , - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая -нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая -насыщенная не -нильпотентная подформация из имеет вид .

Доказательство. Необходимость. Пусть -нильпотентный дефект формации равен 1. Так как формация - не -нильпотентна, то по лемме в формацию входит некоторая минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация . По условию - максимальная -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть -насыщенная не -нильпотентная формация, удовлетворяющая требованиям теоремы, т.е. - -насыщенная -нильпотентная подформация формации , - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация формации . Понятно, что . Пусть -дефекты формаций , и равны соответственно , и . Поскольку - -насыщенная -нильпотентная формация, то ее -дефект равен 0. Так как - минимальная -насыщенная не -нильпотентная формация, то ее -дефект равен 1.Т. е., в силу леммы , получаем, что -дефект формации равен

Если , то отсюда следует -нильпотентность формации , что противоречит условию . Таким образом получаем, что -дефект формации равен 1. Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как - максимальная -насыщенная подформация в , то, в силу теоремы , имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно, - максимальная -насыщенная подформация в . Следовательно, поскольку , то всякая -нильпотентная подформация из входит в .

Для доказательства утверждения 2) прежде покажем, что в нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Предположим, что в существует - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация, отличная от . Тогда, поскольку , то .

Пусть - внутренний -локальный спутник формации , такой, что

где . И пусть - внутренний -локальный спутник формации такой, что

По теореме такие спутники существуют. Тогда по лемме получаем, что формация имеет такой -локальный спутник , что

, если ,

.

По лемме имеем, что , где монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо и - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий:

(1) группа неабелева, причем, если , то - -группа, если же , то - простая неабелева группа;

(2) , где - -группа, а такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , , - -группа, и либо , либо - группа порядка q, где .

Поскольку , то .

Пусть удовлетворяет условию (1), т.е. - неабелева -группа. Поскольку, очевидно, - -насыщенная формация, то . Но - единственная минимальная нормальная подгруппа.

Следовательно, . Но по лемме . Тогда, так как , то получаем . Поэтому

Поскольку - минимальная -насыщенная не -формация, то имеем, что . Противоречие.

Пусть теперь для группы выполняется условие (2), т.е. . Так как , то

Поскольку и , то . Поэтому

Но тогда . Снова получили противоречие.

Пусть теперь - -группа. Заметим, что если - неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, - абелева -группа, где .

Покажем, что . Поскольку , то по лемме -дефект формации . С другой стороны, -дефект формации , так как . Значит, -дефект равен 1. Поэтому в существует максимальная -насыщенная -нильпотентная подформация . Следовательно,

Поскольку, в силу теоремы ,

где , то получаем, что - максимальная -насыщенная формация в .

С другой стороны,

Но тогда максимальна в .

А, значит, по лемме формация максимальна в и . Так как в и имеется единственная максимальная подформация, то

Поскольку , то

Но . Поэтому . Таким образом .

Так как - абелева -группа, где и , то где - группа порядка .

Понятно, что . Значит,

В силу теоремы заключаем, что

Заметим, что

Действительно, пусть

где - группа минимально порядка и - минимальная нормальная подгруппа в . Если не является -группой, то, так как , имеем . Значит . Противоречие.

Поэтому - -группа. Так как при этом и , то - группа порядка . Но тогда . Противоречие.

Таким образом,

Значит,

Но . Следовательно . Таким образом,

По лемме - гомоморфный образ группы из . Следовательно . Последнее влечет . Противоречие. Таким образом, в формации нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Пусть теперь - произвольная не -нильпотентная -насыщенная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что . Следовательно, применяя лемму и модулярность решетки -насыщенных формаций, получаем

Теорема доказана.

Если , а - множество всех простых чисел, то из теоремы вытекает

1. Пусть - некоторая -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где - -насыщенная нильпотентная подформация формации , - минимальная -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид .

Если и равны , то из теоремы вытекает

2. Пусть - некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где - насыщенная нильпотентная подформация формации , - минимальная насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид . Если , то вытекает

3. Пусть - некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где - насыщенная -нильпотентная подформация формации , - минимальная насыщенная не -нильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая -нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая насыщенная не -нильпотентная подформация из имеет вид .

Делись добром ;)