2.7 Средние Колмогорова

Средние Колмогорова (они же -- средние по Колмогорову) для действительных чисел x₁, … , x_n -- величины ряда (*)

,

где ц -- непрерывная строго монотонная функция, а ц^-1 -- функция, обратная к ц. При ц(x) = x получают среднее арифметическое, при  ц(x) = log x - среднее геометрическое, при ц(x) = x^-1 -- среднее гармоническое, при  ц(x) = x² -- среднее квадратическое, при  ц(x) = x^б , б ? 0 -- среднее степенное.

В 1930 году А.Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина -- функция M(x₁, …, x_n), являющаяся:

· непрерывной,

· монотонной по каждому x_i, i = 1, …, n

· симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)

· среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,

· некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

-- имеет вид ( * ).

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.