2.8 Колмогоровы теоремы

Колмогоровы теоремы:

1. Теорема о нормированных пространствах (1934);

2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928);

3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933).

2.8.1 Теорема о нормированных пространствах

Нормированное пространство - векторное пространство X, наделенное нормой ||x||, xX. Норма индуцирует на Х метрику с(x, y) = ||x-y|| и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство тогда и только тогда является гильбертовым, когда

||x+y|| + ||x-y|| = 2*||x||² + 2*||y||² для x, y X.

Отделимое топологическое векторное пространство нормируемо, если его топология совместима с некоторой нормой. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля.

2.8.2 Теорема о применимости больших чисел закона

Данная теорема Колмогорова дает ответ на вопрос: при каких условиях суммы Y_n предельно постоянны?

Не ограничивая общности, можно предположить, что медианы величин Х_n,k равны нулю; пусть ?Х_n,k = Х_n,k при | Х_n,k |?1 и ?Х_n,k = 0 при | Х_n,k |>1, тогда одновременное выполнение двух условий

при

и

при

Необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Y_n . В качестве С_n можно взять . Если математические ожидания существуют, то легко указать дополнительные условия, при которых можно выбрать С_n = EY_n , что приводит к необходимым и достаточным условиям больших чисел закона в классической формулировке, т.е.

.

Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {X_n} эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Y_n в этом случае необходимо и достаточно условие при .

2.8.3 Теорема о применимости больших чисел усиленного закона

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н.Колмогоровым: достаточное (1930) - для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) - для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин X_i). Теорема Колмогорова для случайных величин X₁, X₂, …, X_n, …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия

вытекает приложимость к последовательности X₁, X₂, …, X_n, … больших чисел усиленного закона

.

В терминах дисперсий условие

оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел b_n с расходящимся рядом

можно построить последовательность независимых случайных величин X_n с DX_n = b_n , не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия

может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mX_n - медиана X_n. Сходимость ряда

необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что

с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.

В доказательствах А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова вместо сходимости ряда

устанавливается сходимость ряда

,

где n_k = 2^k. При этом А.Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.