2 Обчислення

Заміна змінних в невласних інтегралах.

Нехай в площинах ху і о?? маємо, відповідно, обмежені області (D) і (?), звязані формулами перетворення:

або зворотними їм:

з дотриманням всіх умов.

Нехай, далі, в області (D) задана функція неперервна усюди, за винятком граничного числа окремих точок або навіть кривих, де вона звертається в нескінченність.

Покажемо, що за цих умов рівність

має місце, якщо лише збігається один з цих інтегралів; збіжність іншого звідси вже випливатиме.

Дійсно, якщо особливі точки і особливі лінії першого інтеграла в області (D) виділити їх околами, то відповідними околами в області (?) виділяться особливі точки і особливі лінії другого інтеграла. Нехай при цьому вийдуть область (D) на площині ху і область (?) на площині о??. Тоді

Передбачаючи неперервність відповідності між областями (D) і (?) в обидві сторони , легко побачити, що при «стисканні» околів на площині ху до оточених ними точок або ліній такий же процес відбуватиметься і з околами на площині і навпаки. Звідси ясно, що, переходячи в попередньому співвідношенні до границі, із збіжності одного з інтегралів ми дійсно можемо говорити про збіжність іншого і в той же час про наявність рівності (15).

Можна було б допустити навіть, що в окремих точках області (?) або уздовж окремих лежачих в ній ліній (не пересікають раніше розглянутих в цій області особливих ліній) звертається в нескінченність якобіан J(о,??), а з ним і підінтегральна функція другого з інтегралів. Хоча відповідні точки і лінії на площині ху не є особливими для першого інтеграла, але їх виділення, по зауваженню, не створює скрути, так що при нових припущеннях висновок залишається в силі.

Відмітимо ще, що і в даному випадку часто доводиться стикатися з порушенням неперервності або взаємної однозначності відповідності в окремих точках або уздовж окремих ліній.

Нарешті, звернемося до випадку, коли хоч одна з областей (D), (?) є необмеженою.

Якщо ці області тягнуться в нескінченність, причому точки їх, що знаходяться на кінцевій відстані, звязані відповідністю (14) або (14а), то, відокремивши (відповідними) кривими обмежені частини цих областей, (D?) і (??), ми при дотриманні вказаних вище умов матимемо рівність (16). Оскільки згадані криві, вочевидь, можуть віддалятися в нескінченність лише одночасно, то залишається лише перейти в (16) до межі, аби отримати (15), причому знову із збіжності одного з інтегралів випливає збіжність іншого.

Нехай тепер, скажімо, область (D) прямує в нескінченність, а область (?) ні, і точки області (D) звязані відповідністю зі всіма точками області (?), за винятком окремої точки (або кривої), яка, так би мовити, відповідає нескінченно видаленій частині контура області (D).

Відокремивши кривою обмежену частину області (D), ми відповідній кривій в області (?) виділимо згадану точку (або криву) і тим отримаємо області (D?) і (??), до яких вже прикладені колишні міркування. Відмітимо, що заміна змінних разом з переходом до повторного інтегралу є вельми зручним засобом для встановлення існування невласних подвійних інтегралів.