Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка

курсовая работа

1. Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем случае записывается в виде

(1)

или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно второй производной,

. (2)

Общим решением уравнения 2-го порядка (2) называется функция , где и - произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим условиям:

1) эта функция является решением данного уравнения при любых допустимых значениях постоянных;

2) каковы бы ни были начальные условия

, ( - заданные числа), (3)

существуют единственные значения постоянных и , такие, что функция является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).

Как и в случае дифференциального уравнения первого порядка, задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка (2), удовлетворяющего системе начальных условий (3), называется задачей Коши.

В приложениях часто встречаются следующие пять специальных типов уравнений, называемые неполными дифференциальным уравнениями второго порядка

(4)

Уравнения (4) решаются методом понижения порядка, т.е. введением новой искомой функции

. (5). Тогда (6)

или (во втором и пятом случаях при наличии )

. (6а)

Подстановка значений (5) и (6) или (6а) в уравнения (4) сводит их к уравнениям первого порядка

(7)

Общее решение уравнений (7) имеет вид

или .

Используя зависимость (5), получаем уравнение

или .

Делись добром ;)