2.1 Уравнения типа
Пусть дано уравнение
, (8)
не содержащее искомой функции и её производной первого порядка . Здесь порядок понижается непосредственно путём последовательного интегрирования. Действительно, учитывая, что , уравнение (8) можно записать в виде , откуда получаем
,
т.е. приходим к уравнению такого же вида, что и исходное, но уже первого порядка. Далее аналогично находим
общее решение данного уравнения.
Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решение. Интегрируя, получим . Отсюда
.
Определим постоянные и , полагая :
.
Итак, искомое частное решение имеет вид .
2.1.1 Переходная кривая железнодорожного пути
Найти уравнение кривой железнодорожного пути, переходящей плавно от прямого направления к круговому, если длина переходной кривой , а радиус кругового пути .
Решение. Кривизна переходной кривой равномерно изменяется от нуля до (рис.1).
Рис.1.
неполное дифференциальное уравнение
Следовательно, , где - коэффициент пропорциональности, - длина дуги от начала переходной кривой до текущей точки .
Коэффициент определяется из условия: при откуда
и .
Итак, имеем:
.
Переходная кривая по всей длине незначительно отклоняется от оси абсцисс, и величину можно заменить абсциссой точки .
Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке будет очень мал, и поэтому в дифференциальной формуле кривизны
величиной можно пренебречь. Таким образом, полагаем и
.
Упрощенное дифференциальное уравнение переходной кривой
.
Общее решение этого уравнения
.
Начальные условия: при и , откуда
.
Подставляя эти значения в общее решение, находим искомое уравнение переходной кривой
.
2.1.2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости
Найти закон движения материальной точки массой по прямой (рис.2) под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки от неподвижного центра .
Рис.2.
Решение.
Дифференциальное уравнение движения точки, согласно второму закону динамики,
, (9)
где - коэффициент пропорциональности.
Уравнение (9) можно представить в виде
или .
Умножим обе части уравнения на :
.
Левая часть последнего равенства есть дифференциал от :
; отсюда
и или .
Разделяя переменные, получим
. (10)
Решая уравнение (10), придем к равенству
. Окончательно
или .
2.2 Уравнения вида
Рассмотрим уравнение вида
. (11)
Полагая и принимая за новую независимую переменную, получаем . Поэтому уравнение (11) примет вид:
или .
Интегрируем это уравнение:
.
Заменим на :
.
Дальнейшее интегрирование дает
.
Пример. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Положив и приняв за новую независимую переменную, получим . Тогда исходное уравнение можно записать в виде
.
Полагаем :
или .
Интегрируем это уравнение: .
Следовательно, , , откуда
.
Интегрируя, получаем
Функция будет решением. Это решение частное.
2.2.1 Геометрические приложения
Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины нормали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и в этой точке параллельной оси абсцисс.
Решение. Длина нормали . По условию задачи получаем дифференциальное уравнение искомого семейства
или
Решая это дифференциальное уравнение, находим
. (12)
Дополнительные условия: кривая проходит через точку и при . Отсюда
или . (13)
Так как, дифференцируя уравнение (12), находим
, то . (14)
Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (13) и (14). Из равенства (14) находим , т.е. или . Если , то уравнение (13) дает , следовательно, и . Тогда из уравнения (13) . Подставляем значения и в общее решение (12) и получаем уравнение искомой кривой
.
2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения
Материальная точка массой движется по прямой линии к центру (рис.3), притягивающему ее с силой , где - расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя при . Найти время, по истечении которого точка достигнет центра.
Рис.3.
Решение. По условию задачи в любой момент на точку действует сила . Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения
или .
Решая его как уравнение типа , находим общее решение
. (15)
Начальные условия: при и . Из первого условия имеем:
.
Второе условие
или .
Для определения постоянных интегрирования и имеем систему
откуда
. (16)
Подставляя значения (16) в общее решение (15), получим
.
Когда точка достигает центра , расстояние и искомое время
.
- Введение
- 1. Основные понятия и определения
- 2. Неполные дифференциальные уравнения и их приложения
- 2.1 Уравнения типа
- 2.3 Уравнения типа
- 2.4 Уравнения типа
- 2.1.1 Переходная кривая железнодорожного пути
- 2.1.2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости
- 2.2 Уравнения вида
- 2.2.1 Геометрические приложения
- 2.3.1 Определение кривой по радиусу кривизны
- 2.3.2 Движение пули внутри вещества
- 2.5 Уравнения типа
- 2.5.1 Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны
- Заключение
- Дифференциальные уравнения второго порядка.
- 9. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- Дифференциальные уравнения второго порядка
- Дифференциальные уравнения второго порядка
- 20. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- §1.6. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- Дифференциальные уравнения второго порядка