logo
Бифуркация Андронова-Хопфа

2. Исследование заданной однопараметрической системы дифференциальных уравнений

Нам дана система:

x1=м*x1+ x2+м*x12- x12- x1*x22

x2=- x1+ x22

Первая вариация бифуркационного значения

>

>

В ходе решения получили 4 особые точки, рассмотрим каждую из них и определим их тип.

Первая особая точка

>

>

>

>

>

Получили, что в точке (0,0) особая точка - устойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Вторая особая точка

>

>

Получили, что в точке (0,6366447672; 0,7979002238) особая точка - седло. Находим собственные числа и вектора:

Третья особая точка:

>

>

>

>

Получили, что в точке

(-0.3083223836-0.5455464893I; -0.3989501119+0.6837277056I)

особая точка - устойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Четвертая особая точка:

>

>

>

Получили, что в точке (-0.3083223836+0.5455464893I;-0.3989501119-0.6837277056I) особая точка - устойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Вторая вариация бифуркационного значения

>

однопараметрический дифференциальный фазовый бифуркационный

В ходе решения получили 4 особые точки, рассмотрим каждую из них и определим их тип.

Первая особая точка:

>

Получили, что в точке (0,0) особая точка - седло.

Находим собственные числа и вектора:

Вторая особая точка:

>

>

>

>

Получили, что в точке (0.6233115583,0.7895008286) особая точка - седло. Находим собственные числа и вектора:

Третья особая точка:

>

>

>

>

Получили, что в точке

(, )

особая точка - неустойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Четвертая особая точка:

>

>

>

>

>

Получили, что в точке

(, )

особая точка - неустойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Третья вариация бифуркационного значения:

>

В ходе решения получили 4 особые точки, рассмотрим каждую из них и определим их тип.

Первая особая точка:

>

>

>

>

Получили, что в точке (0,0) особая точка - неустойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Вторая особая точка:

>

>

>

>

Получили, что в точке (0.6433639117, 0.8020996894) особая точка - седло. Находим собственные числа и вектора:

Третья особенная точка:

>

>

>

>

Получили, что в точке

(, )

особая точка - неустойчивый фокус.

Находим собственные числа и вектора:

Четвертая особая точка:

>

>

>

>

>

Получили, что в точке

(, )

особая точка - неустойчивый фокус

Находим собственные числа и вектора:

используем формулы Рунге-Кутта для поиска точек траектории

eps

1.1

1.2

1.3

1.4

5.7730e+001

6.0241e+001

6.3434e+001

6.7506e+001

коэффициенты аппроксимации []

39.0250 -65.0415 82.0652

eps

1.1

1.2

1.3

1.4

3.5761e+000

3.9025e+000

4.2404e+000

4.5896e+000

коэффициенты аппроксимации []

0.5700 1.9534 0.7377

eps

1.1

1.2

1.3

1.4

1.9885e-002

8.1797e-003

2.8024e-003

7.7173e-004

коэффициенты аппроксимации []

0.2419 -0.6674 0.4612

коэффициенты аппроксимации:

k_approcs = 1.0675e+000 7.0326e-002 -2.2563e-002

отбображение Пуанкаре:

otobr_puan_kare = 1.9885e-002

координата z цикла:

koord_z_c = 1.1178e+000

диаметр цикла:

diametr_c = 3.5761e+000

время периода цикла:

period_c = 5.7730e+001

массив значений z:

mas_ys = Columns 1 through 6

2.0000e+000 1.1179e+000 1.1178e+000 1.1178e+000 1.1178e+000

1.1178e+000

Column 7 1.1178e+000

mas_yk = Columns 1 through 6

1.0000e-001 1.0742e+000 1.1178e+000 1.1178e+000 1.1178e+000

1.1178e+000

Columns 7 through 8

1.1178e+000 1.1178e+000

массив времен периодов:

mas_time_s = 5.7833e+001 5.7769e+001 5.7705e+001 5.7770e+001

5.7706e+001 5.7772e+001

mas_time_k = Columns 1 through 6

5.1893e+001 5.7662e+001 5.7727e+001 5.7663e+001 5.7729e+001

5.7664e+001

Column 7 5.7730e+001

массив разностей z:

mas_razn_s = 1.1179e+000 9.6659e-005 2.2708e-005 2.3115e-005 2.4454e-

005 2.4810e-005

mas_razn_k = Columns 1 through 6

1.0742e+000 4.3524e-002 4.2087e-005 3.2264e-005 3.0743e-005 3.0502e-

005

Column 7 2.9015e-005

Изменение фазового портрета исследуемой системы вблизи бифуркационного значения параметра: