2.4 Анализ бесконечно малых или "о переменных величинах, о функциях, о пределах"
Из приведенной в предыдущем пункте цитаты видно, что язык пределов и функций в целом более удобен, чем предложенный Дедекиндом язык сечений. В следующей главе математик доказывает основные определения и теоремы из теории пределов, основываясь на построенной теории. Дав знакомое нам определение предела, Дедекинд доказывает следующее утверждение: "Если величина х возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она стремится к некоторому пределу". Нам это известно как теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.
Также, в статье приведено объяснение утверждения, которое в анализе читается как эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Вот оно:
На этом автор останавливается.
С моей точки зрения, аппарат пределов, функций и точных граней несколько удобнее для практических целей, нежели теория сечений Дедекинда. Возможно, поэтому в современной математике им пользуются. Однако можно с уверенностью сказать, что человеку, привыкшему к определенной устоявшейся точке зрения, нелегко судить объективно. Несомненно, вклад Дедекинда в развитие математики велик, и было бы верхом неучтивости пытаться его приуменьшить.
- 2.1 Рациональные числа и рациональные точки на числовой прямой
- 2.2 Непрерывность области вещественных чисел или неявное понятие точной верхней грани
- 2.3 Вычисления с вещественными числами
- 2.4 Анализ бесконечно малых или "о переменных величинах, о функциях, о пределах"
- 3. Дальнейшее развитие теории
- Список используемой литературы
- Множество действительных чисел
- §4. Действительные числа
- 5. Аксиома непрерывности р. Дедекинда
- Иррациональные числа
- 6. Свойства множества действительных чисел
- 4. Введение иррационального числа. Методическая схема введения действительного числа
- 1.3. Развитие понятия действительного числа
- 34. Свойства множества действительных чисел
- Неравенство между рациональными и иррациональными числами
- Глава II Трансфинитные числа § 1. Трансфинитные числа — новые иррациональности