Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда

реферат

3. Дальнейшее развитие теории

В этом разделе я приведу не свое мнение насчет того, как именно изобретение немецкого ученого повлияло на ход математических рассуждений в мире, а скорее кратко повторю мнение переводчика, профессора С.О. Шатуновского, благодаря которому у меня была возможность читать статью по-русски.

Шатуновский отмечает, что, хотя это и не обозначено в статье явно, теория рациональных чисел строится на знаках, под которыми подразумеваются определенные смыслы, отражающие понятие числа. Говоря лингвистическим языком, в каждый конкретный знак или символ мы можем вложить любое денотативное значение. В тот момент, когда появляются новые смыслы, расширяется и система знаков. Так, когда стало недостаточно натуральных чисел и понадобилось вложить новое свойство в числовую систему - растянутость в обе стороны - придумали обозначать отрицательные числа знаком минус перед знаком числа. Новые символы ввели для обозначения дробей, и так далее.

Если сформулировать эту идею в более общем виде, расширяя ту или иную систему, мы "заполняет пустые места". Всякий раз, когда появляются новые свойства, их приходится описывать новыми объектами или знаками; и это тот самый фундамент, на котором, как мне кажется, должны держаться новые построения.

Создавать нечто, чего еще не было, и тем более, дополнять уже работающую, функциональную систему - опасное начинание. Важно, например, заполнить не все пустые места, или другая трудность: новая система может перестать обладать некоторыми свойствами предыдущей. В этом смысле подход Дедекинда наиболее естественный и наглядный. Во всех случаях, когда "не хватало" рациональных чисел, появились иррациональные, и система стала полна в том смысле, что для нее верно свойство непрерывности.

В качестве приложения к переводу статьи Дедекинда Шатуновский приводит доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, как бы показывая тем самым, что это следующая ступень развития той же системы.

На меня это фундаментальное замечание переводчика и тот способ, которым Дедекинд расширил систему рациональных чисел, произвело большое впечатление. Сначала заметив только недостатки в сложной структуре сечений, каждое из которых имело два класса (когда можно было бы обойтись одним и говорить о точных верхних или нижних гранях), теперь я осознаю, что, именно так заданная, она наиболее наглядно демонстрирует тот факт, что наша главная задача - правильно расширить систему.

Делись добром ;)