2.2 Использование ограниченности функции
При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.
Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ? C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2).
Рисунок 2
Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ? c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D (рисунок 3).
Рисунок 3
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ? y ? C (рисунок 4).
Рисунок 4
Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.
Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (-?; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.
Пример 2.2.1 Решите уравнение
sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. (4)
Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x3 + 2х2 + 1) ? 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ? 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .
При , , т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет .
Ответ: O.
Пример 2.2.2 Решите уравнение
. (5)
Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x3 - x - sin ?x достаточно найти его решения в области х > 0, х ? 1, поскольку если x0 > 0 является его решением, то и (-x0) также является его решением.
Разобьем множество х > 0, х ? 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +?)
Перепишем начальное уравнение в виде x3 - x = sin ?x. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x3 - x принимает только отрицательные значения, поскольку х3 < < х, а функция h(x) = sin ?x только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.
Пусть х принадлежит промежутку (1; +?). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х3 - х принимает положительные значения, функция h(x) = sin ?x принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sin ?x неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.
Если же х > 2, то |sin ?x| ? 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 2•3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +?) уравнение также не имеет решений.
Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.
Ответ: {-1; 0; 1}.
Пример 2.2.3 Решите неравенство
. (6)
Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -? < x < -1, -1 < x ? 0, 0 < x < +? и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.
Пусть -? < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.
Пусть -1 < x ? 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2x ? 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.
Пусть 0 < x < +?. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.
Ответ: .
- ВВЕДЕНИЕ
- 1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
- 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ
- 2.1 Использование монотонности функции
- 2.2 Использование ограниченности функции
- 2.3 Использование периодичности функции
- 2.4 Использование четности функции
- 2.5 Использование ОДЗ функции
- 3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
- 3.1 Умножение уравнения на функцию
- 3.2 Угадывание корня уравнения
- 3.3 Использование симметричности уравнения
- 3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси
- ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- Решение уравнений и неравенств
- Учебные цели изучения линии уравнений и неравенств
- 28) Решение иррациональных неравенств и уравнений.
- Решение уравнений и неравенств
- 28. Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
- 26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- Иррациональные уравнения и неравенства. Основные методы и способы их решения.
- 19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства