Нильпотентные группы

курсовая работа

Используемые определения

Определение 1. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.

Определение 2. Пусть А и В - множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В.

Определение 3. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение .

Определение 4. Группой называется непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «?», если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) операция «?» ассоциативна на G ,т. е. а?(b?c) = (a?b)?c для любых a, b, c?G.

2) в G существует нейтральный элемент относительно операции «?», т. е. ?e?G : a?e=e?a=a, для любого a?G.

3) в G для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a?G ?a?G : a?a=a?a=e.

Определение 5. Группа G относительно операции «?» называется абелевой, если операция «?» коммутативна на G, то есть a?b=b?a для любых a, b?G.

Определение 6. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.

Определение 7. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 8. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G.

Определение 9. Пусть <G, ?>, <G1, ?> - группы. Взаимно однозначное отображение G на G1 называется изоморфизмом, если ц(a?b)=ц(a)?ц(b) для любых a, b?G.

Определение 10. Группы G и G1 называются изоморфными, если существует изоморфизм группы G на группу G1.

Определение 11. Непустое подмножество М группы G называется подгруппой группы G, если М является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается М?G.

Определение 12. Пусть G - группа, и - ее подгруппы. Если , то говорят, что группа G является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где . Произведение называется прямым, если подгруппы и нормальны в и .

Определение 13. Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Определение 14. Подгруппой группы G, порожденной множеством MG, называется пересечение всех подгрупп группы G, содержащих множество M.

Определение 15. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой группы , если M<G и для всех H?G из MHG всегда следует, что или .

Определение 16. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех максимальных подгрупп группы , если они существуют, и сама группа , если таких подгрупп нет.

Определение 17. Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество . Аналогично определяется левый смежный класс:

Определение 18. Элемент называется перестановочным с подмножеством , если .

Определение 19. Пусть , - группа. Нормализатором множества H в группе G называется множество всех элементов группы , перестановочных с H (в целом), т.е. .

Определение 20. Элемент группы называется центральным в , если он перестановочен с каждым элементом группы , т.е. .

Определение 21. Множество всех центральных элементов группы называется центром группы.

Определение 22. Пусть , - группа. Централизатором множества H в группе G называется множество всех элементов группы , перестановочных с H поэлементно, т.е. .

Определение 23. Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Определение 24. Пусть - нормальная подгруппа группы . Факторгруппой группы по подгруппе называется множество всех смежных классов группы по подгруппе , образующее мультипликативную группу относительно умножения, заданного по правилу и .

Определение 25. Группа G называется p-группой, если , где , .

Определение 26. Пусть , где , , , . Подгруппа группы называется силовской p-подгруппой группы , если .

Определение 27. Коммутатором элементов и группы называют элемент группы вида , который обозначают через .

Определение 28. Коммутантом группы называется подгруппа группы , т.е.

Определение 29. Эпиморфизм называют проектированием группы на -ю компоненту , то - подгруппа группы .

Определение 30. Подгруппу называют проекцией подгруппы на . Если подгруппа такова, что , , то подгруппу называют подпрямым произведением прямого произведения .

Делись добром ;)