Векторное обоснование евклидовой геометрии-аксиоматика Вейля

дипломная работа

Введение

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение - тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Тема этой работы «Векторное обоснование евклидовой геометрии». Тема достаточно актуальна в современном мире, это объясняется тем, что в соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Векторному способу решения задач в школьном курсе геометрии уделяется достаточно мало времени. На уроках разбираются и решаются лишь немногие задачи. Векторный способ решения задач достаточно сложный, нельзя понять и уловить его смысл за пару занятий. Таким образом, школьники не могут в полной мере овладеть таким способом решения задач. В институтской программе также мало часов отводится на изучение данной темы. Встречаясь с задачей, которую необходимо решать данным способом и учащийся, и студент видят перед собой сложную, временами неразрешимую задачу. Для освоения данного способа решения, необходимо изучить основы векторного способа решения задач.

Традиционный путь построения геометрии, идущий от Евклида и закрепленный Д. Гильбертом в его аксиоматики геометрии (1899 год), заключается в следующем. Основными неопределяемыми понятиями геометрии служат понятия точки, прямой, плоскости. Основными неопределяемыми отношениями между ними являются: отношения принадлежности (например, точка лежит на прямой, плоскость проходит через прямую и т.д.); понятие «между», являющееся отношением трёх точек одной прямой и позволяющее определить отрезок, луч, угол и т.д; отношение равенства (конгруэнтности), связывающее два отрезка или два угла. Формулируются два десятка аксиом, связывающих между собой основные понятия и отношения (и, по существу, дающих косвенное определение этих основных понятий и отношений). Среди этих аксиом имеются такие хорошо известные, как «Через две различные точки проходит единственная прямая», «Из трёх точек одной прямой лишь одна лежит между двумя другими», а также аксиома параллельности и некоторые другие. Все остальные понятия геометрии уже точно определяются, предложения геометрии (отличные от аксиом) строго доказываются (то есть выводятся из аксиом в соответствии с правилами логики.

Этот путь построения евклидовой геометрии является самым известным, но отнюдь не единственно возможным.

В основе всех современных теорий евклидова пространства лежит понятие числа. В этом состоит коренное отличие современных теорий от классической теории Евклида-Гильберта, в которой число рождается в рамках самой теории как отношение отрезков или мера длины.

В современных теориях система действительных чисел либо непосредственно используется в определении структуры евклидова пространства, либо является вспомогательной структурой для определения других вспомогательных структур (векторного пространства, метрического пространства). Более того, категоричность теории евклидова пространства позволяет рассматривать его как арифметическое пространство , в котором должным образом определены необходимые понятия и отношения.

Использование числа значительно упрощает построение теории евклидова пространства, однако во многом лишает это построение наглядности и того, конструктивного характера, который присущ теории Евклида - Гильберта. В этом состоит существенный методический недостаток таких теорий с точки зрения их использования для построения начал школьного курса геометрии.

В 1918 году известным математиком Г.Вейлем было предложено так называемое «векторное» обоснование евклидовой геометрии. В качестве вспомогательной структуры он использует евклидово векторное пространство, элементы которого играют роль операторов в пространстве точек.

Размерность векторного пространства определяет размерность точеного пространства. Аксиоматика Вейля переводит теорию евклидова (точечного) пространства на язык линейной алгебры.

Простота аксиоматики, её пригодность для обоснования геометрии многомерных пространств, алгоритмизация теории на основе линейной алгебры сделали аксиоматику Вейля наиболее употребительной в современной геометрии и её приложениях. Использование векторных пространств позволяют построит «в духе Вейля» аксиоматики неевклидовых пространств, придав тем самым известное единообразие обоснованию различных геометрий.

В качестве основных неопределяемых понятий и отношений геометрии в аксиоматике Вейля принимаются: вектор, точка, сумма векторов, произведение вектора на действительное число, скалярное произведение векторов и откладывание вектора от точки. Прямые, плоскости, равенство фигур и т.п. определяются через эти первоначальные понятия и отношения.

Основной целью написания данной работы является, ознакомление с векторным обоснованием евклидовой геометрии и рассмотрение основных видов задач, решаемых векторным способом.

Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

- ознакомиться с биографией Г. Вейля;

- изучить различные аксиоматики Вейля;

- выявить взаимосвязь школьного курса геометрии и аксиоматики Вейля;

- рассмотреть основные виды задач, решаемые векторным способом.

Делись добром ;)