4. Непротиворечивость и категоричность аксиоматики Вейля

Для доказательства непротиворечивости системы аксиом Вейля n- мерного евклидова пространства нужно построить какую-нибудь её модель. Сначала построим модель вспомогательной структуры n-мерного евклидова векторного пространства.

Возьмем V=. Сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определим следующим образом: если

=, =, то

+=(),

,

+.

Тогда, очевидно, все аксиомы n- мерного евклидова векторного пространства будут выполнятся и, значит, эта система аксиом непротиворечива (если непротиворечива арифметика действительных чисел).

Теперь в качестве множества Е точек возьмем то же множество таким, каким оно было до наделения его структурой векторного пространства: А=, B= - точки множества E=. Основное отношение - отображение определим следующим образом:. Тогда легко проверить, что аксиомы I, II Вейля будут выполнятся. Следовательно, система аксиом Вейля n-мерного евклидова (а также и аффинного) пространства непротиворечива, если непротиворечива арифметика. Построенная модель евклидова пространства называется арифметической.

Зафиксировав какую-нибудь точку AE и воспользовавшись биективностью отображения :E, можно отождествить пространства Е и V. Но все n-мерные евклидовы векторные пространства изоморфны. Следовательно, система аксиом Вейля n-мерного евклидова пространства категоричная, то есть все её модели изоморфны. Поэтому для изучения геометрии такого пространства можно использовать какую-нибудь одну её модель, например арифметическую. Так часто и поступают, рассматривая евклидово пространство как .

Арифметическая модель n-мерного евклидова пространства, в которой и векторы, и точки - кортежи действительных чисел, наталкивает на мысль построить модель евклидова пространства в рамках теории любого евклидова векторного пространства.

Именно пусть V - n-мерное евклидово векторное пространство. Положим E=V, то есть точками будем называть векторы из V. Пусть . Отображение определим законом: .

Тогда аксиомы Вейля будут выполнятся так же, как в арифметической модели. Эту модель евклидова пространства назовем векторной.