1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными --

ах² + bxy + су² + dx + ey +f= 0,

где а, b, с, d, e,f-- данные числа, причем среди коэффициентов a, b и с по меньшей мере один отличен от нуля.

Пусть все эти шесть коэффициентов -- числа целые. Будем заниматься решением таких уравнений в целых числах х и у.

Пример:

Докажите, что уравнение 3х²=16у²+ 8у+ 5 не имеет решений в целых числах.

Дополним сумму 16х²+ 8у в правой части уравнения до квадрата суммы:

Зх² = (16у²+ 8у + 1) + 4, Зх² = (4у + 1)² + 4.

Отсюда видно, что сумма 4у + 1 не делится на 3. Тогда (4у + 1)² при делении на 3

дает в остатке 1: (4у+1)² = Зk+1, где k -- целое неотрицательное число. Получаем:

Зх² = 3k + 1 + 4, Зх² = Зk + 5.

Но последнее равенство невозможно ни при каких целых х и k, так как его левая

часть делится на 3, а правая не делится.

Задачи:

1.Решите в целых числах уравнение 2х²-2ху + 9х + у = 2.

Ответ:

(1, 9), (2, 8), (0, 2), (-1, 3)

2. Имеет ли уравнение х² + 2ху = 2002 решение в целых числах?

Ответ:

не имеет

3.Решить в целых числах уравнение ху²-7(х+у²)=1

Ответ:

(32, -3), (32, 2)

4.Решить уравнение (у-2х)=х²+у²+

Ответ:

х=-, у=

5.Решить систему уравнений

49х²+36у²-14ху-266х-102у+501=0

7х²-3у²+11ху+73х-93у+135=0

Ответ:

(3, 2)

6.Решить уравнение х²=у^у+2у+13

Ответ:

(4, 1), (4, -3), (-4, 3), (-4, -1)

7. В шахматном турнире в один круг участвовали два ученика 9 класса и несколько учащихся 10 класса. Два девятиклассника набрали вместе 8 очков, а все десятиклассники набрали по одинаковому числу очков. Сколько десятиклассников участвовали в турнире? Приведите все ответы.

Ответ: 7 или 14

8. Приведите пример уравнения вида: ах² + bху + сх + dy + е = 0, где а, b, с, d, е -- данные целые числа, а?0, которое имеет бесконечное множество решений в целых числах х и у.

Ответ:

например, (х-у-1)(х+3)=0

9. Решите в целых числах уравнение х² -у² =1997.

Ответ:

(999, 998), (999, -998), (-999, -998), (-999, 998)

10. Решите в целых числах уравнения:

а)х²-Зху + 2у= 11; б) Зх² + 4ху- 7у²= 13

Ответ:

а) (21, 10), (9, 10), (-21, -10), (-9, -10)

б) (2, 1), (-2, 1).

11. Найдите натуральное число, которое становится точным квадратом, если к нему прибавить любое из чисел 145 и 98. Укажите все такие числа.

Ответ:

431

12. Решите в целых числах уравнение 5х² + 4ху + у² = 121

Ответ:

(0, 11), (0, -11), (11, -22), (-11, 22)

13.Решите в целых числах уравнение х²-ху+у²=х+у

Ответ:

(1, 2), (2, 2), (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1)

14. Решите в целых числах уравнение у²=х²-х+1

Ответ:

(0, 1), (0, -1), (1, 1), (1, -1)

15. Решите в целых числах уравнения:

а) х² - ху + х - 2у + 3 = 0; б) х + у² = ху; в) у² + 2ху = 2х + 2; г) х² - 2ху + 4х + 3у - 2 = 0.

Ответ:

а) (-1, 3), (-3, -9), (3, 3), (-7, -9)

б) (4, 2), (0, 0)

в) (-1, 2), (-1, 0)

г) (2, 10), (1, -3), (4, 6), (-1, 1), (14, 10), (-11, -3)