1.12 НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Иногда приходится решать в целых числах не уравнения, а неравенства. Так, при решении уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных числах мы нередко решали эти уравнения в целых числах, а затем для выделения решений в натуральных числах решали систему двух неравенств первой степени с одним

неизвестным в целых числах. Необходимость в этом возникает и при решении некоторых других уравнений в целых числах. Например, при решении в натуральных числах уравнения z -- х + у -- ху приходится решать в натуральных числах неравенство

х + у - ху > 0. Наконец, встречаются текстовые задачи, решение которых сводится к решению в целых (а чаще натуральных) числах неравенств или систем неравенств.

Пример:

Решите в целых числах x,y и z неравенство

Соберем все члены неравенства в левой части: х² +у² + z² -ху - 3у - 2z + 3 < 0.

Заменим это неравенство следующим: х² + у² + z² -ху - 3у - 2z + 4 ? 0.

Полученное неравенство при целых х, у и z равносильно предыдущему. Теперь выделим в левой части квадраты сумм. Полезно предварительно умножить неравенство на 4.

Ясно, что сумма в левой части последнего неравенства отрицательной быть не

может, она может только равняться нулю. Тогда

Находим отсюда х, у и z: у = 2, х=1, z=l.

Ответ:

(1, 2, 1)

Задачи:

5. Решите в целых числах х и у систему неравенств

Ответ:

(0, 0), (2, 0), (1, 1)

6. Решите систему неравенств в натуральных числах х и у.

Ответ:

(1, 2)

7. Сколько решений в целых числах х и у имеет неравенство

Ответ:

181

8. Три одноклассника купили 13 пирожков, причем Костя купил в два раза меньше Толи, а Володя -- больше Кости, но меньше Толи. Сколько пирожков купил каждый из них?

Ответ:

3, 4, 6

9. В гараже 40 автомобилей разных типов: грузовые, легковые и автобусы. Автобусов меньше, чем легковых машин, а легковых машин в 12 раз меньше, чем грузовых. Найдите число автомобилей каждого типа.

Ответ:

36 грузовых, 3 легковых, 1 автобус

10. На одинаковых грузовиках перевезли 10 560 кг груза. Легковых автомобилей было на 6 меньше, чем грузовиков, и они перевезли 560 кг груза. Сколько было легковых автомобилей, если каждый из них перевозил груза меньше, чем грузовик, более чем на 1 т и машины грузились равномерно?

Ответ:

2

11. В отчете о лыжных соревнованиях говорится, что процент участников, прошедших дистанцию до конца, заключен в пределах от 94,2 % до 94,4 % участников. (Некоторая неопределенность этих данных объясняется неясностью с выступлениями отдельных участников.) Каково наименьшее число участников соревнований?

Ответ:

35

12. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 200 и 240, а отношение -- между 20 и 24. Укажите все решения.

Ответ:

(67, 3), (68, 3), (69, 3), (70, 3), (71, 3)

13. Сколько решений в целых числах имеет неравенство

Ответ:

21

14. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 120 и 130, а отношение -- между 2 и 3. Укажите все решения.

Ответ:

18 и 7

15. Решите в целых числах х, у и z систему неравенств

Ответ:

(0, 0, 0), (1, 1, 1)