3. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов

Определение 4. Пусть А и В - два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е₁. Назовем их суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу элемент у=Ах+Вх, .

Можно проверить, что С=А+В - линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения D_C оператора С есть пересечение областей определения операторов А и В.

Если Е и Е₁ - нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причем

(2)

Действительно, для любых х , следовательно, выполняется неравенство (2).

Определение 5. Пусть А и В - линейные операторы, причем А действует из Е в Е₁, а В действует из Е₁ в Е₂ . Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу элемент из Е₂.

Область определения D_C оператора С=ВА состоит из тех хD_A , для которых АхD_B. Ясно , что оператор С линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.

Если А и В - ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА - ограничен, причем

(3)

Действительно, , следовательно, выполняется (3).

Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны.

Произведение оператора А на число к (обозначается кА) определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент кАх.

Совокупность Z(E,E₁) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е₁ ( где Е и Е₁- фиксированные линейные нормированные пространства), образует, по отношению к введенным операциям сложения и умножения на число, линейное пространство. При этом Z(E, E₁) - нормированное пространстово (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше).