Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

научная работа

1.1 Сфера и шар: основные понятия и определения

Сферой называется поверхность, состоящая всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Рис. 1

Данная точка называется центром сферы (точка О на рис. 1), а данное расстояние радиусом сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, так же называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы (отрезок DC на рис. 1). Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра.

Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром в О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая точку О), и не содержит других точек. Шаром также называют фигуру вращения полукруга вокруг его диаметра. Шаровой сегмент - часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центра шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. Шаровой сектор - геометрическое тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием.

Площадь поверхности сферы:

S=4рR2,

где R - радиус шара, S - площадь сферы.

Объем сферы

V =

где V - объём шара

Объем шарового сектора

V = ,

V - объём шарового сегмента.

Площадь сегментальной поверхности

где - высота сегмента, площадь сегментальной поверхности

Радиус основания сегмента

,

где - радиус основания сегмента, - высота сегмента, 0<H<2R.

Площадь сферической поверхности шарового сегмента

где - площадь сферической поверхности шарового сегмента.

В пространстве для шара и плоскости возможны три случая:

1) Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса шара, то шар и плоскость не имеют общих точек.

2) Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

3) Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга является проекцией центра шара на данную плоскость. Пересечение плоскости со сферой является окружностью указанного круга.

Делись добром ;)